一起刷LeetCode——爬楼梯（数组+数学）

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爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

来源：力扣（LeetCode） 70. 爬楼梯

分析

根据题目推演

• 当只有1阶的时候，有1种方法，当有2阶的时候，可以1+1，也可以2，有2种方法，当有3阶的时候，可以1+1+1，1+2或者2+1，有3种方法，当有4阶的时候，可以是在爬2阶方法的基础上再爬2层，也可以是在爬3阶方法的基础上再爬1层，所以爬4阶的方法就是2+3=5，以此类推
• f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=5...

方法一：动态规划

• 递推公式：f(n) = f(n-1)+f(n-2)
• 因为只需要得到爬到N阶的方法数，不需要保存所有的数，只需要维护f(n-2)、f(n-1)和f(n)的值，把这三个值看成一个数组的窗口，随着遍历，窗口向后移动，空间复杂度可以做到O(1)

代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    if(n===0) return 0;
    if(n===1) return 1;
    if(n===2) return 2;
    let arr = [1,2];
    for(let i=2;i<n;i++){
        arr[i] = arr[i-1]+ arr[i-2];
    }
    return arr[n-1];
};

方法二：数论-斐波那契数列

• 当遇到这种情况，如果有些数学敏感，通过补充一个f(0)=1，于是这个数列变成了1,1,2,3,5,8...
• 显然，这就是菲波那切数列，求第N个斐波那契数列的值
• 此时可以秀一下数学肌肉，熟背斐波那契数列的通项公式，时间复杂度可以做到O(1)

代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    const sqrt5 = Math.sqrt(5);
    const fibn = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
    return Math.round(fibn / sqrt5);
};

总结

• 今天题目难度级别为简单，有多种方法，可以递归，可以得到递推公式后进行动态规划，也可以直接使用通项公式，当N很大的时候，递归会爆栈，通项公式容易出现算术的精度问题，动态规划可能是最安全。
• 所以，秀数学肌肉很炫酷，也应该重视内功心法
• 今天又是有收获的一天