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背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高

背包问题分类：

基础背包问题
完全背包问题
多重背包问题

基础背包（01背包）

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这个问题的状态dp[i][j]表示将前i件物品装进限重为j的背包可以获得的最大价值, 0<=i<=N, 0<=j<=W
状态转移方程为dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i] + v[i]),要满足条件j > w[i]
可进一步压缩空间，状态转移方程变为dp[j]=Math.max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]),同样要满足条件j > w[i]，此时必须逆向枚举

例题：分割等和子集

题目：给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

元素的总和是知道的，那么两个子集的和分别为sum/2，如果sum为奇数，因为/2后会出现小数，则一定不能分割，如果sum为偶数，继续处理，target = sum/2
可以找出状态转移方程式（0<=i<=nums.length, 0=<j<=target）
- 当j>=nums[i]时，有第i个加入和不加入两种情况，任意一个为true，则满足条件dp[i][j] = dp[i-1][j]|dp[i-1][j-nums[i]]
- 当j<nums[i]时，第i个肯定不能加入，则dp[i][j]=dp[i-1][j]

代码如下

function canPartition (nums) {
  let sum = 0, n = nums.length
  if (n < 2) return false
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    sum += nums[i]
  }
  // 判断奇偶，奇数返回false
  if (sum & 1) {
      return false
  }
  let target = sum / 2
  let dp = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(target + 1))
  for (let i = 0; i < n; i++) {
      // 不选取任何一个数，总和就会为0，所以为true
      dp[i][0] = true
  }
  for (let i = 1; i < n; i++) {
    let num = nums[i]
    for (let j = 1; j <= target; j++) {
        if (j >= num) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-num]
        } else {
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        }
    }
  }
  return dp[n-1][target]
};

跑出的结果有点不尽人意，可以进一步压缩空间，状态由一维数组存储，状态转移方程式则变成dp[j] = dp[j] | dp[j-nums[i]]

这种方案要注意，j需要从大到小遍历，必须逆向枚举因为从小到大，dp[j-nums[i]]的值会是更新后的，不再是上一行的值

function canPartition (nums) {
  let sum = 0, n = nums.length
  if (n < 2) return false
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    sum += nums[i]
  }
  // 判断奇偶，奇数返回false
  if (sum & 1) {
      return false
  }
  let target = sum / 2
  let dp = new Array(target + 1).fill(false)
  dp[0] = true
  for (let i = 1; i < n; i++) {
    let num = nums[i]
    // 这里要注意是从大到小
    for (let j = target; j >= num; j--) {
        dp[j] = dp[j] | dp[j-num]
    }
  }
  return dp[target]
};

完全背包

完全背包和01背包的不同点是，每个物品可以出现多次

状态转移方程为dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i] + v[i]),要满足条件j > w[i]
压缩空间后，转移方程为dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-w[i] + v[i])，，此时必须正向枚举

例题：零钱兑换

function coinChange (coins, amount) {
  let dp = new Array(amount + 1).fill(amount + 1)
  dp[0] = 0
  for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
      for (let j = 1; j <= amount; j++) {
        if (j >= coins[i]) {
            dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
        }
      }
  }
  return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount]
};

多重背包

多重背包与前面不同就是每种物品是有限个，每种物品个数不同

参考文档：zhuanlan.zhihu.com/p/93857890

搞定动态规划系列（三）：背包问题

基础背包（01背包）

例题：分割等和子集

完全背包

例题：零钱兑换

多重背包