简介
线段树是一种二叉搜索树，是用来维护区间信息的数据结构。可以在O(logN)的时间复杂度内实现单点修改、区间修改、区间查询（区间求和，求区间最大值，求区间最小值）等操作。接下来我以实现区间求和为例子来讲解线段树（最大值和最小值与求和实现方式几乎无异），假设存在一个数组[1,4,6,3,9]。
实现思路
从线段树的定义，我们首先需要定义一个树节点，节点包含区间和（23），区间（[1-5]），左节点，右节点等。（如果要实现求区间最大值，最小值，则还需包含这些）。然后需要提供构建线段树，线段树支持修改节点操作方法。
节点定义
@Data
public static class Node {
//区间起始下标
private int start;
//区间结尾下标
private int end;
//当前区间和值
private int value;
private Node left;
private Node right;
Node(int start, int end, int value) {
this.start = start;
this.end = end;
this.value = value;
}
}
构建线段树
因为构建线段树时候需要计算当前区间和，所以我们可以先初始化一个前缀和数组，在构建线段树时候利用下标快速计算出区间和,同时为了保证每个节点有一致的操作，初始化一个头节点，指向root（这是链表树等常用的简化操作的方法）
//head 指向线段树root节点的指针，使得root节点与其余节点操作保持一致
Node head;
int size;
List<Integer> nums;
//前缀和数组，便于构建线段树时候计算区间值，用于初次构建辅助
List<Integer> prefixSum;
public void init(List<Integer> nums) {
//初始化一个头节点，便于操作
this.head = new Node(-1, -1, -1);
this.nums = nums;
//初始化前缀和数组
prefixSum = new ArrayList<>(nums.size());
prefixSum.add(0);
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
prefixSum.add(prefixSum.get(prefixSum.size() - 1) + nums.get(i));
}
//构建线段树
this.build(1, nums.size());
size = nums.size();
}
//构建线段树
public void build(int start, int end) {
Node root = new Node(start, end, prefixSum.get(end) - prefixSum.get(start - 1));
//将头节点右子树指向root
head.right = root;
//从root开始构建线段树
this.madeChild(root, start, end);
}
private void madeChild(Node node, int start, int end) {
if (start >= end) {
return;
}
//分个左右子树，左子树取start～mid，右子树取mid+1～end
int mid = start + ((end - start) >> 1);
if (start <= mid) {
Node left = new Node(start, mid, prefixSum.get(mid) - prefixSum.get(start - 1));
node.left = left;
madeChild(left, start, mid);
}
if (mid + 1 <= end) {
Node right = new Node(mid + 1, end, prefixSum.get(end) - prefixSum.get(mid));
node.right = right;
madeChild(right, mid + 1, end);
}
}
}
求解区间和
求解区间和过程就是遍历线段树，将求解区间与当前节点区间进行比较，如果全部存在于左子树或者右子树，则直接深度继续在左子树右子树遍历即可，但是如果求解区间在当前节点的左右子树均有部分，则需要将当前区间分为两个部分，然后分别深度遍历左右子树，最后将结果相加。
//求解区间和
public int findSectionSum(int start, int end) {
//深度遍历线段树，找到对应区间
if (start < 1 || end > size || start > end) {
return -1;
}
return dfsFindSectionSum(head.right, start, end);
}
/**
* 深度遍历线段树结构，分为三种情况
* 1.区间在当前节点的左子树中
* 2.区间在当前节点的右子树中
* 3.左子树中一部分，右子树中一部分
*
* @param node
* @param start
* @param end
* @return
**/
private int dfsFindSectionSum(Node node, int start, int end) {
if (node.start == start && node.end == end) {
//找到区间
return node.value;
}
if (this.isContain(node.left.start, node.left.end, start, end)) {
//在左子树中
return this.dfsFindSectionSum(node.left, start, end);
}
if (this.isContain(node.right.start, node.right.end, start, end)) {
//包含在右子树中
return this.dfsFindSectionSum(node.right, start, end);
}
//左边一部分，右边一部分
return this.dfsFindSectionSum(node.left, start, node.left.end) + this.dfsFindSectionSum(node.right, node.right.start, end);
}
/**
* 判断区间[start2, end2]是否包含在[start1, end1]中
*
* @param start1
* @param end1
* @param start2
* @param end2
* @return
**/
private boolean isContain(int start1, int end1, int start2, int end2) {
return start2 >= start1 && end2 <= end1;
}
}
更新线段树
当更新指定位置元素的值的时候，我们需要将线段树中区间包含该节点的区间和进行更新。我们可以从根节点开始深度遍历线段树，如果当前节点包含该位置，我们更新区间和，然后根据当前节点左右子节点的区间，判断走左子树还是右子树，直至更新到叶子节点，则更新完成。
//更新线段树，将index位置的值更新为value，需要更新沿路的值
public void update(int index, int value) {
Node root = head.right;
while (null != root) {
if (index >= root.start && index <= root.end) {
root.value += value - nums.get(index - 1);
}
int mid = root.start + ((root.end - root.start) >> 1);
if (index <= mid) {
root = root.left;
continue;
}
root = root.right;
}
nums.set(index - 1, value);
}
练习
307. 区域和检索 - 数组可修改
