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要彻底理解这个问题，要从什么是坐标系，空间，向量，角度，三角不等式，内积说起了，不过呢，我们先来看一下如何证明内积公式。当然，这里用到了基本定义，和坐标系定义，就可以证出。但是要理解的话，还需要细品。比如，下一篇我会写，

在$R^n$空间里，存在几个向量，使得他们的和为零，并且任意向量的夹角相等？

一个例子，当n=3的时候，甲烷的结构。

懒得打字了，直接贴图上来。其实还有别的方法，但是我觉得没有我这个简单快速直观。下面是问题描述：

问题

在一个2维赋范线性空间中，给定一个直角坐标系，两个向量$\bold{a}$,$\bold{b}$，坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$。

定义内积操作 $\bold{a} \cdot \bold{b}= x_1x_2+y_1y_2$。

证明：$\bold{a} \cdot \bold{b}= |\bold{a}||\bold{b}|\cos\theta$, $\theta$是两个向量的夹角。

证明

只需要旋转一下坐标系，重新算一下两个向量的坐标值，那么利用内积定义，即可证明出：

旋转以后，显然，利用三角函数定理，可以看出，新的向量 $\bold{a}^{'}$,$\bold{b}^{'}$，坐标分别为$(|\bold{a}|\cos\theta,\bold{a}\sin\theta)$和$(|\bold{b}|, 0)$。因为旋转以后内积不变，再利用内积定义，即可得出。

题外话

这里有几个知识点：

线性空间，向量空间，内积，长度，距离，坐标系，坐标系旋转，基，赋范线性空间，内积，相似性。

这些都是基础知识，除了熟练掌握，要深刻理解起来，并非易事。

最近在研究双曲空间，发现不容易理解透。对于计算机选手，非数学系的，如果讨论的空间变得复杂了，比如双曲空间中，很容易就迷失了方向。所以还是得从基础构建起来。

题题外话