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题目

给定一个非负索引 rowIndex，返回「杨辉三角」的第 rowIndex 行。

**说明：**在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例：

• 输入：rowIndex = 3
• 输出：[1,3,3,1]

方法一：递推

思路及解法

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

杨辉三角具有以下性质：

1. 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大再变小，并最终回到 1。
2. 第 n 行（从 0 开始编号）的数字有 n+1 项，前 n 行共有 $\frac{n \times (n + 1)}{2}$ 个数。
3. 第 n 行的第 m 个数（从 0 开始编号）可表示为可以被表示为组合数 $C(n,m)$，记作 $C_{n}^{m}$ 或 ${(_{m}^{n})}$，即为从 n 个不同元素中取 m 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它：$C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! \times (n - m)!}$
4. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n 行的第 i 个数等于第 n−1 行的第 i−1 个数和第 i 个数之和。这也是组合数的性质之一，即 $C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}$。
5. $(a+b)^n$ 的展开式（二项式展开）中的各项系数依次对应杨辉三角的第 n 行中的每一项。

依据性质 4，我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 i 行的值，我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1 行的值。

代码

class Solution {
    func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        var result = [[Int]]()
        for i in 0...rowIndex {
            var numArray: [Int] = Array(repeating:0, count:i + 1)
            for j in 0..<numArray.count {
                if j == 0 || j == numArray.count - 1 {
                    numArray[j] = 1
                }
                else {
                    numArray[j] = result[i - 1][j - 1] + result[i - 1][j]
                }
            }
            result.append(numArray)
        }
        return result[rowIndex]
    }
}

优化： 注意到对第 i+1 行的计算仅用到了第 i 行的数据，因此可以使用滚动数组的思想优化空间复杂度。

class Solution {
    func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        var pre: [Int] = [Int]()
        for i in 0...rowIndex {
            var cur: [Int] = Array(repeating:0, count:i + 1)
            for j in 0..<cur.count {
                if j == 0 || j == cur.count - 1 {
                    cur[j] = 1
                }
                else {
                    cur[j] = pre[j - 1] + pre[j]
                }
            }
            pre = cur
        }
        return pre
    }
}

进一步优化： 能否只用一个数组呢？

递推式 $C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}$ 表明，当前行第 i 项的计算只与上一行第 i−1 项及第 i 项有关。因此我们可以倒着计算当前行，这样计算到第 i 项时，第 i−1 项仍然是上一行的值。

class Solution {
    func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        var row: [Int] = Array(repeating:0, count:rowIndex + 1)
        row[0] = 1
        if rowIndex == 0 {
            return row
        }
        for i in 1...rowIndex {
            var j = i
            while j > 0 {
                row[j] += row[j-1]
                j -= 1
            }
        }
        return row
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(rowIndex^2)$

• 空间复杂度：空间复杂度：$O(1)$。不考虑返回值的空间占用。

方法二：线性递推

思路及解法

由组合数公式 $C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$，可以得到同一行的相邻组合数的关系 $C_{n}^{m} = C_{n}^{m-1} \times \frac{n-m+1}{m}$，由于 $C_{n}^{0} = 1$，利用上述公式我们可以在线性时间计算出第 n 行的所有组合数。

代码

class Solution {
    func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        var row: [Int] = Array(repeating:0, count:rowIndex + 1)
        row[0] = 1
        if rowIndex == 0 {
            return row
        }
        for i in 1...rowIndex {
            row[i] = row[i - 1] * (rowIndex - i + 1) / i
        }
        return row
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(rowIndex)$

• 空间复杂度：空间复杂度：$O(1)$。不考虑返回值的空间占用。