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题目描述

如果序列 X_1, X_2, ..., X_n 满足下列条件，就说它是 斐波那契式 的：

n >= 3 对于所有 i + 2 <= n，都有 X_i + X_{i+1} = X_{i+2} 给定一个严格递增的正整数数组形成序列 arr ，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回  0 。

（回想一下，子序列是从原序列 arr 中派生出来的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如， [3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）

示例 1：

输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: 5
解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8] 。

示例 2：

输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]
输出: 3
解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/length-of-longest-fibonacci-subsequence
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思路分析

• 今天的算法题目是斐波那契式数组题目，斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)。
• 理解了斐波那契数列的计算方式之后，题目要求求出最长的斐波那契式的子序列的长度，子序列不需要连续。
• 首先可以想到的是朴素解法，我们遍历数组的中每一个元素，先确定两个元素，在按照斐波那契数列计算规则，计算下一个数值，如果下一个数值在给出的数组中，则长度至少为3。在查找元素的时候，我们可以使用 hashMap 数据结构，提升查询效率。
• 在朴素解法中，由于是双重循环遍历，有多余的重复计算。为了提升计算效率，我们可以采用记忆化的方式，缓存之前计算的结果。定义二维数组 memo, 缓存计算结果。memo[i][j] 表示 i, j 位置的斐波那契式数子序列的长度。具体实现代码如下，供参考。

通过代码

class Solution {
    public int lenLongestFibSubseq(int[] arr) {
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<Integer, Integer>();
        int n = arr.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            map.put(arr[i], i);
        }
        int ans = 0;
        int[][] memo = new int[n][n]; 

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                int cnt = dfs(map, arr, i, j, memo);
                if (cnt >= 3) {
                    ans = Math.max(cnt, ans);
                }
            }
        }

        return ans;
    }

    private int dfs(Map<Integer, Integer> map, int[] arr, int i, int j, int[][] memo){
        if (memo[i][j] > 0) {
            return memo[i][j];
        }

        memo[i][j] = 2;

        int next = arr[i] + arr[j];
        if (map.containsKey(next)) {
            memo[i][j] = 1 + dfs(map, arr, j, map.get(next), memo);
        }
        return memo[i][j];

    }
}

总结

• 上述算法的时间复杂度是O(n * n), 空间复杂度是O(n)
• 坚持算法每日一题，加油！