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[NOIP2004 提高组] 合唱队形

题目描述

$n$ 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 $n-k$ 位同学出列，使得剩下的 $k$ 位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设 $k$ 位同学从左到右依次编号为 $1,2,$ … $,k$ ，他们的身高分别为 $t_1,t_2,$ … $,t_k$ ，则他们的身高满足 $t_1< \cdots <t_i>t_{i+1}>$ … $>t_k(1\le i\le k)$ 。

你的任务是，已知所有 $n$ 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式

共二行。

第一行是一个整数 $n$ （ $2\le n\le100$ ），表示同学的总数。

第二行有 $n$ 个整数，用空格分隔，第 $i$ 个整数 $t_i$ （ $130\le t_i\le230$ ）是第 $i$ 位同学的身高（厘米）。

输出格式

一个整数，最少需要几位同学出列。

样例 #1

样例输入 #1

8
186 186 150 200 160 130 197 220

样例输出 #1

提示

对于 $50\%$ 的数据，保证有 $n \le 20$ 。

对于全部的数据，保证有 $n \le 100$ 。

解题思路

即：一遍递推算出最长上升子序列，再一遍递推算出最长下降子序列，再一遍历维护max求出答案。

我这里提供一个新的思路，建立二维数组a[105][2]。

a[i][0]代表以第i个人为结尾的最长上升子序列长度。（整个合唱队形没有下降）

a[i][1]代表以第i个人为结尾的最长合唱队形，但至少有一个人的身高呈下降趋势（合唱队形有下降）

显然，max(a[i][0],a[i][1])代表前i个人的最长合唱队形。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;    
int a1[105][2];
int height[105];
int main(){
    int n; cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>height[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){//递推求最长上升子序列 
            a1[i][0]=1;
            for(int j=1;j<i;j++){
                if(height[i]>height[j]) a1[i][0]=max(a1[i][0],a1[j][0]+1);    
            }
    }      
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a1[i][1]=1;
        for(int j=1;j<i;j++) 
            if(height[i]<height[j]) a1[i][1]=max(a1[i][1],max( a1[j][0],a1[j][1] )+1);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=max( ans, max( a1[i][0],a1[i][1]));
    }
    cout<<n-ans;
    return 0;
}

【动态规划】合唱队形