Educational Codeforces Round 108 (Rated for Div. 2)-D. Maximum Sum of Products

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Problem Description

You are given two integer arrays $a$ and $b$ of length $n$ .

You can reverse at most one subarray (continuous subsegment) of the array $a$ .

Your task is to reverse such a subarray that the sum $\sum\limits_{i=1}^n a_i \cdot b_i$ is maximized.

Input

The first line contains one integer $n$ ( $1 \le n \le 5000$ ).

The second line contains $n$ integers $a_1, a_2, \dots, a_n$ ( $1 \le a_i \le 10^7$ ).

The third line contains $n$ integers $b_1, b_2, \dots, b_n$ ( $1 \le b_i \le 10^7$ ).

Output

Print single integer — maximum possible sum after reversing at most one subarray (continuous subsegment) of $a$ .

Sample Input

5
2 3 2 1 3
1 3 2 4 2

Sample Onput

Note

In the first example, you can reverse the subarray $[4, 5]$ . Then $a = [2, 3, 2, 3, 1]$ and $2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 29$ .

In the second example, you don't need to use the reverse operation. $13 \cdot 2 + 37 \cdot 4 = 174$ .

In the third example, you can reverse the subarray $[3, 5]$ . Then $a = [1, 8, 3, 6, 7, 6]$ and $1 \cdot 5 + 8 \cdot 9 + 3 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 7 \cdot 8 + 6 \cdot 6 = 235$ .

题目大意

给你两个数组 $a$ 和 $b$ 以及一个整数 $n$ ，每个数组中有 $n$ 个正整数。你可以选择把 $a$ 的一个子串翻转，使得 $\sum a_i*b_i$ 最大。

解题思路

字串必须是连续的！

首先来想最朴素的算法：
i 从 1 到 n:
    j 从 i 到 n:
        k 从 1 到 n:
            如果 i ≤ k ≤ j:
                ans += a[k] * b[j - k + i]
            否则:
                ans += a[k] * b[k]
这样的话复杂度为 $O(n^3)$ ，然而 $n$ 的范围是 $1$ ~ $5000$ ，会超时。
简单优化一下：因为 $i$ ~ $j$ 外面的 $a[k]$ 和 $b[k]$ 是一一对应的，没有翻转，故可以用一个前缀数组 $qianZui$ ，其中 $qianZui[i]$ 表示 $\sum_{k=1}^ia[k]*b[k]$ 。这样的话处于 $l$ ~ $r$ 外面的所有 $a[i]*b[i]$ 的和就可以用 $O(1)$ 的时间快速得出，为 $qianZui[n]-qianZui[r]+qianZui[l-1]$ 。
但是， $l$ ~ $r$ 中的元素还是需要一个一个计算，这就使得总体复杂度仍为 $O(n^3)$ 。
继续优化：既然第三层复杂度的来源是重新计算了 $l$ ~ $r$ 中每个 $a$ 与 $b$ 相乘，那么能不能找到一种方法，使得后面的 $l$ ~ $r$ （翻转部分）的计算基于前面的 $l$ ~ $r$ 的计算结果之上呢？
于是我们想到，如果已知 $l$ ~ $r$ 的翻转后的 $a$ 与 $b$ 相乘的值 $s_1$ ，那么就能很快求出 $l-1$ ~ $r+1$ 的翻转后的 $a$ 与 $b$ 相乘的值 $s_2$ ，其中 $s_2=s_1+a[l-1]*b[r+1]+a[r+1]*b[l-1]$ 。
所以我们第一层循环是 $l$ ~ $r$ 的中间的下标，之后 $l-1$ 的同时 $r+1$ ，每次更新答案的最大值即可。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
ll a[5050],b[5050];
ll qianZui[5050];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;//每个数组有n个数
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>b[i];
    qianZui[0]=0;//前缀初始值
    for(int i=1;i<=n;i++)
        qianZui[i]=qianZui[i-1]+a[i]*b[i];//后面一个的前缀和等于前面一个的前缀和的基础上加上a[i]*b[i]
    ll ans=qianZui[n];//目前答案最大值是一个都不翻转
    for(int mid=1;mid<=n;mid++)//区间中间从1到n
    {
        ll zhongJianZheYiKuai=a[mid]*b[mid];//中间这一段 的和
        for(int l=mid-1,r=mid+1;l>0&&r<=n;l--,r++)//l向左拓展的同时r向右拓展
        {
            zhongJianZheYiKuai+=a[l]*b[r]+a[r]*b[l];//中间这一段的和加上新拓展来的两个对应的数
            ans=max(ans,zhongJianZheYiKuai+qianZui[n]-qianZui[r]+qianZui[l-1]);//更新一下答案的最大值。如果l到r翻转的话，总和就是 中间这一段+两边的和， 其中两边的和=左边的和+右边的和， 其中左边的和就是前缀l-1，右边的和是前缀n - 前缀r。
        }
        //注意仅仅考虑上面的话翻转区间是奇数个元素，故应加上翻转区间共有偶数个元素的情况，即中间点mid暂时不包含。
        zhongJianZheYiKuai=0;//现在翻转区间为空
        for(int l=mid,r=mid+1;l>0&&r<=n;l--,r++)//翻转区间中的元素个数为偶数个，区间从mid到mid+1开始往两边拓展
        {
            zhongJianZheYiKuai+=a[l]*b[r]+a[r]*b[l];//同上
            ans=max(ans,zhongJianZheYiKuai+qianZui[n]-qianZui[r]+qianZui[l-1]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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