图学习：构造拉普拉斯矩阵【pytorch代码分析】

在很多和图有关的论文中，都会提到通过拉普拉斯矩阵 / 拉普拉斯算子用于记录图结构，像传统图传播的NGCF和为了推荐让任务去掉拉普拉斯算子中的自环结构的LightGCN，本文以LightGCN的pytroch源码为例分析拉普拉斯矩阵的构造

什么是拉普拉斯矩阵

图数据的一个矩阵表示，推荐系统中最重要的user-item交互数据可以天然的看作一个二分交互图。

对于有 $N$ 个顶点的无向图 $G=(V,E)$，其拉普拉斯矩阵定义为$L=D-A$，$D$ 为该图的度矩阵，$A$ 为该图的邻接矩阵，下面拉普拉斯矩阵的构造过程:

1. 构造图 $G$ 对应的邻接矩阵 $A$
2. 根据邻接矩阵 $A$ 构造度矩阵 $D$
3. 计算拉普拉斯矩阵 $L$
4. 计算正则化的拉普拉斯矩阵 $Lsym$

论文中的拉普拉斯矩阵（邻接矩阵的改动）

与传统方法计算拉普拉斯矩阵不同，论文中的拉普拉斯矩阵使用的邻接矩阵 $A$ 略有不同，由四个分块矩阵构成，其中左上和右下的分块矩阵为全0矩阵，右上是正常的邻接矩阵，左下是其转置。这里以NGCF中带自环的拉普拉斯矩阵为例：

拉普拉斯矩阵的pytorh实现

def getSparseGraph(self):
    print("loading adjacency matrix")
    if self.Graph is None:  # 还没有存在的图结构
        try:
            # --------------------- #
            # 加载拉普拉矩阵
            # --------------------- #
            pre_adj_mat = sp.load_npz(self.path + '/s_pre_adj_mat.npz') # 从文件加载.npz格式的稀疏矩阵
            print("successfully loaded...")
            norm_adj = pre_adj_mat  # 这个是拉普拉斯矩阵
        except :
            print("generating adjacency matrix")
            # --------------------- #
            # 计算邻接矩阵A
            # --------------------- #
            # 创建具有初始形状(n.users+m.items, n.users+m.items)的矩阵
            # 注意这个矩阵就是拉普拉斯矩阵的A_hat，左上右下为全0，右上是原始矩阵，做下是其转置矩阵
            adj_mat = sp.dok_matrix((self.n_users + self.m_items, self.n_users + self.m_items), dtype=np.float32)
            adj_mat = adj_mat.tolil()   # 该矩阵转为列表格式
            # self.UserItemNet = csr_matrix((np.ones(len(self.trainUser)), (self.trainUser, self.trainItem)),shape=(self.n_user, self.m_item))
            R = self.UserItemNet.tolil()
            adj_mat[:self.n_users, self.n_users:] = R       # 填充R
            adj_mat[self.n_users:, :self.n_users] = R.T     # 填充R的转置
            adj_mat = adj_mat.todok()   # 矩阵转回键字典的格式
            # adj_mat = adj_mat + sp.eye(adj_mat.shape[0])  # eye是对角矩阵，只要指定行数即可默认主对角线全为1，充当自环

            # --------------------- #
            # 计算度矩阵D
            # --------------------- #
            rowsum = np.array(adj_mat.sum(axis=1))      # 列求和，然后转为array数组
            d_inv = np.power(rowsum, -0.5).flatten()    # 求数组元素的-0.5次方，然后拉伸为1维
            d_inv[np.isinf(d_inv)] = 0.                 # 无穷值处填充0
            d_mat = sp.diags(d_inv)                     # 从对角线构造一个稀疏矩阵

            # --------------------- #
            # 组合为拉普拉斯矩阵
            # --------------------- #
            norm_adj = d_mat.dot(adj_mat)               # D右乘A
            norm_adj = norm_adj.dot(d_mat)              # DA右乘D
            norm_adj = norm_adj.tocsr()                 # 返回稀疏矩阵的csr_matrix形式
            sp.save_npz(self.path + '/s_pre_adj_mat.npz', norm_adj)     # 存储该稀疏矩阵

            self.Graph = self._convert_sp_mat_to_sp_tensor(norm_adj)    # 矩阵转为稀疏张量
            self.Graph = self.Graph.coalesce().to(world.device)         # coalesce对相同索引的多个值求和（压缩），再送入对应的计算设备
        
    return self.Graph