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五一假期前的最后一道题

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题目描述

后天就是五一假期了，小L约好了女生一起出去玩。他还剩下最后一道数论作业，写完就可以去嗨了。

题目是，求$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}$的值。

怀揣着与女神约会的激动心情，小L飞快地算了起来。一天、两天、$\cdots$眼看五一假期就要来了，这个计算何时才到尽头！

于是他找到了会编程的你，想让你编个程序，在五一放假之前得到答案。

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输入描述

给你一个正整数$n$，请你计算出$n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\cdots}}}$的值。

如：样例一

1

即求$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}$的值。

数据范围： $1\leq n \leq 10^8$

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输出描述

为了避免根号不易打出的尴尬，老师决定允许小L用3个整数来表示答案。 如：样例一 经过计算机夜以继日的运算 ，得到$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}=\frac{1+\sqrt5}{2}$。 我们用三个数字$a、b、c$来代表答案$\frac{a+\sqrt b}{c}$

1 5 2

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题目分析

一个可以无限递推下去的式子，一定具有某种神秘的规律。 小学三年级的数学老师教过我们，求谁设谁。

所以我们设$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}=x$。

现在$1+\frac{1}{一大块}=x$。那么这一大块等于什么呢？这一大块等于$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}$，还是$x$。 因此我们有$1+\frac{1}{x}=x$。 解得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（$<0$，舍去）

当$1$变成$n$时

解$n+\frac{1}{x} = x$得$x=\frac{n+\sqrt{(n^2+4)}}{2}$或$x=\frac{n-\sqrt{(n^2+4)}}{2}$（$<0$，舍去）

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注意事项

• $\Delta=n^2+4>0$，一定有解
• $n-\sqrt{(n^2+4)}<0$，一定有一解舍去
• 分母为$2$，可能需要约分
• $n$的范围是$10^8$，$n^2$可能超出32位$int$，某些编程语言注意用$long\ long$

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AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
/*小水题一道*/
int main()
{
    ll n;
    cin >> n;
    ll a = n, b = n * n + 4, c = 2;
    if (a % 2 == 0 && b % 4 == 0)
        a /= 2, b /= 4, c /= 2;
    printf("%lld %lld %lld\n", a, b, c);
    return 0;
}

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