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一、题目描述

给定一个 m*n 的矩阵 a，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上左右数字累加起来就是路径和，输出所有的路径中最小的路径和。
数据范围：1<=n，m<=500，矩阵中任意值都满足 0<= nums <= 100
要求：时间复杂度O(nm)

输入： grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出： 7
解释： 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

二、思路分析

1.本题为经典的二维动态规划题目。
2.使用动态规划思想时，考虑如何将问题进行合理拆分，使其变为由一个一个子问题组，通过求解子问题从而解决最后的问题。本题需要求解从左上走到右下（grid[0][0]→grid[n-1][m-1]）所需的最小路径和，可以考虑走到grid[n-1][m-2]和grid[n-2][m-1]时哪个路径最短，以此类推。。。
3.在划分子问题时可以分为三种情况：
（1）网格的第一行的每个元素只能从左上角元素开始向右移动到达
（2）网格的第一列的每个元素只能从左上角元素开始向下移动到达
（3）对于不在第一行和第一列的元素，可以从其上方相邻元素向下移动一步到达，或者从其左方相邻元素向右移动一步到达
所以状态转移方程也分为3个：
（1）dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i]
（2）dp[j][0] = dp[j-1][0] + grid[j][0]
（3）dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j] + grid[i][j], dp[i][j-1] + grid[i][j])

三、代码

class App{
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0){
            return 0;
        }
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[row][col];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i=1; i<row; i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        for (int j=1; j<col; j++){
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
        }
        for (int i=1; i<row; i++){
            for (int j=0; j<col; j++){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j] + grid[i][j], dp[i][j-1] + grid[i][j]);
            }
        }
        return dp[row-1][col-1];
    }
}

四、总结

本题使用动态规划思想，建立二维动态规划数组，将每走到一个格子的最短路径值存储到数组的相应位置，最后只需得到数组右下角格子的值就可以得到问题的最终解。其时间复杂度为O(nm)，空间复杂度为O(nm)。