红黑树删除操作详细分析

本文是对《算法导论》第三版第十三章红黑树删除操作的解读。书中用一个结点有两种复合颜色来分析，但是它的伪代码中并没有体现这个概念，读起来让人费解，因此本文不使用书中的解释，而是参考书中伪代码和图例，用更直白的语言来描述整个过程。

基本情况

下面是第183页RB-DELETE(T,z)伪代码的解读，删除操作会分为以下3种情况：

1. 被删的z左子结点为空，则右子结点顶上z的位置。（对应伪代码第3-5行）

   1. 如果z是红色，则结束。
   2. 如果z是黑色，则分析右子结点(z.right)，书中为x。
      1. 因为删了z会导致路径上少了一个黑色结点，所以右子树(z.right)要补上一个黑色结点，让红黑树重新达到完美平衡。
      2. 如果x是红色的，直接把它变成黑色，相当于增加一个黑色结点，直接不走RB-DELETE-FIXUP的while循环把x设置为黑色，结束。
      3. 如果x是黑色的，通过变换从x的兄弟结点调一个黑色的过来，请看下面的RB-DELETE-FIXUP。

2. 被删的z右子结点为空，则左子结点顶上z的位置。（对应伪代码第6-8行）

   1. 如果z是红色，则结束。

   2. 如果z是黑色，则分析左子结点(z.left)，书中为x。

      1. 因为删了z会导致路径上少了一个黑色结点，所以左子树(z.left)要补上一个黑色结点，让红黑树重新达到完美平衡。
      2. 如果x是红色的，直接把它变成黑色，相当于增加一个黑色结点，直接不走RB-DELETE-FIXUP的while循环把x设置为黑色，结束。
      3. 如果x是黑色的，通过变换从x的兄弟结点调一个黑色的过来，请看下面的RB-DELETE-FIXUP。

3. 从z的右子树找出最小值y，来替代z。（也可以用z的左子树的最大值替代z，都行）因为y是z右子树的最小值，则y必定没有左子结点。（对应伪代码第9-11行）

   1. 如果y是z的右子结点。（对应伪代码第12、13、17-20行）

      • y顶替z的位置，y继承z的颜色。y的右子结点x顶替y的位置。

        1. 如果y原来的颜色是红色，那z是黑色的，x也是黑色的，因为不能有连续红色。y继承z的颜色，也就是少了原来y的红色，不影响，结束。
        2. 如果y原来的颜色是黑色，替换z之后会出现4中情况，1y黑x黑、2y红x黑、3y黑x红、4y红x红，路径上都会少一个黑色结点，通过变换从x的兄弟结点调一个黑色的过来，请看下面的RB-DELETE-FIXUP。

   2. 如果y不是z的右子结点，而是更下面的结点。（对应伪代码第14-20行）

      1. y继承z的颜色。如果y原来是红色，那不管z原来什么颜色，路径上只会少了y原来的红色，所以不影响，结束。
      2. y继承z的颜色。如果y原来是黑色，路径上就会少一个黑色结点，通过变换从x的兄弟结点调一个黑色的过来，请看下面的RB-DELETE-FIXUP。

RB-DELETE-FIXUP

至此，我们已经解决大部分问题，只剩下因为路径上少一个黑色结点，怎样通过变换从x的兄弟结点调一个黑色的过来这个问题，即P185的RB-DELETE-FIXUP伪代码要解决的问题，但这一段伪代码不完整，最好从官网下载Python Code来对照阅读。

下面是解决这个问题要采取的步骤：（下面的情况对应P186图13-7）

1. 把红色的sibling(w)变成黑色。（对应情况1）

2. sibling(w)已经变成黑色或原来就是黑色，分4种情况（第三第四种情况合并为1种情况）

   1. w左右结点都是黑色（对应情况2）

      • 把w变红，这样就把从x的sibling中挪一个黑色结点变成从x.parent的sibling中去挪结点。这时会重新进入循环，重新从步骤1开始执行。

   2. w左结点红、右结点黑（对应情况3）

      1. 把w的右子结点变成红色，进入下面这种情况。

   3. w右结点红、左结点红或黑(红黑都无所谓)（对应情况4）

      1. 通过旋转变色，给x路新增黑色结点，结束。

除了2.1.这个步骤，其他情况都要执行到达2.3.即情况4才能结束。2.1.（对应情况2）这个步骤稍微复杂一点，看下面详细分析。（下面的情况对应P186图13-7）

• 情况1

  • 执行转换动作。虽然没有改变路径上黑色的数量，但是转换成了其他能够做出添加黑色结点的情况。
  • 把红色的sibling变成黑色。则x和sibling都是黑色。情况234都符合x和sibling都是黑色。

• 情况2

  • 原本是A这条路少一个黑色结点，现在把D变成红色，则B下面的两条路都少一个黑色结点，那么就把原本A路少一个黑色结点转变成B路少一个黑色结点，即要给A路增加一个黑色结点转变成给B路增加一个黑色结点。

  • B结点可红可黑

    • 红色时，转换之后的新x因为是红色，会退出循环，直接把x设为黑色，相当于增加一个黑色结点，结束。
    • 黑色时，如果循环后碰到情况34，就按情况34的步骤走。如果x一直上移到root的过程中都没有碰到情况34（x上移指的是从原来A是x变成B是x，看图13-7），因为每次上移都会把新的x的sibling变红色，意味着整棵树的叶子结点(NIL)到root的距离比执行删除操作前减1。也就是这里不是从其他地方挪一个黑色结点过来以维持红黑树平衡，而是从其他地方减少一个黑色结点来维持红黑树平衡。

• 情况3

  • 执行转换动作。虽然没有改变路径上黑色的数量，但是转换成了其他能够做出添加黑色结点的情况。（同case1）
  • 目的：把w的右子结点变成红色。

• 情况4

  • 通过其他的情况转换到本情况，执行新增一个黑色结点的操作。

以上就是红黑树的删除操作，还是看不懂的话，可以先看完P166二叉搜索树的删除操作，再看红黑树的删除操作，这样会更加清晰一些。