【C/C++】2312. 卖木头块携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第2天，点击查看活

携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第2天，点击查看活动详情

题目链接：2312. 卖木头块

题目描述

给你两个整数 m 和 n ，分别表示一块矩形木块的高和宽。同时给你一个二维整数数组 prices ，其中 $prices[i] = [h_i, w_i, price_i]$ 表示你可以以 $price_i$ 元的价格卖一块高为 $h_i$ 宽为 $w_i$ 的矩形木块。

每一次操作中，你必须按下述方式之一执行切割操作，以得到两块更小的矩形木块：

沿垂直方向按高度完全切割木块，或
沿水平方向按宽度完全切割木块

在将一块木块切成若干小木块后，你可以根据 prices 卖木块。你可以卖多块同样尺寸的木块。你不需要将所有小木块都卖出去。你不能旋转切好后木块的高和宽。

请你返回切割一块大小为 m x n 的木块后，能得到的最多钱数。

注意你可以切割木块任意次。

提示:

$1 \leqslant m, n \leqslant 200$
$1 \leqslant prices.length \leqslant 2 * 10^4$
$prices[i].length == 3$
$1 \leqslant h_i \leqslant m$
$1 \leqslant w_i \leqslant n$
$1 \leqslant price_i \leqslant 10^6$
所有 $(h_i, w_i)$ 互不相同 。

示例 1：

输入：m = 3, n = 5, prices = [[1,4,2],[2,2,7],[2,1,3]]
输出：19
解释：上图展示了一个可行的方案。包括：
- 2 块 2 x 2 的小木块，售出 2 * 7 = 14 元。
- 1 块 2 x 1 的小木块，售出 1 * 3 = 3 元。
- 1 块 1 x 4 的小木块，售出 1 * 2 = 2 元。
总共售出 14 + 3 + 2 = 19 元。
19 元是最多能得到的钱数。

示例 2：

输入：m = 4, n = 6, prices = [[3,2,10],[1,4,2],[4,1,3]]
输出：32
解释：上图展示了一个可行的方案。包括：
- 3 块 3 x 2 的小木块，售出 3 * 10 = 30 元。
- 1 块 1 x 4 的小木块，售出 1 * 2 = 2 元。
总共售出 30 + 2 = 32 元。
32 元是最多能得到的钱数。
注意我们不能旋转 1 x 4 的木块来得到 4 x 1 的木块。

整理题意

题目给定一块大小为 m * n 的木板，以及能够卖钱的木板大小和售卖价格 prices ，其中 $prices[i] = [h_i, w_i, price_i]$ 表示你可以以 $price_i$ 元的价格卖一块高为 $h_i$ 宽为 $w_i$ 的矩形木板。

题目允许切割木板，但切割有要求，只能垂直和水平切割，且必须完全切割，也就是一刀且到底，切完的木板任然是个矩形。

此外在卖木板的时候不能旋转，也就是 m * n 的木板不能以 n * m 的价格售卖。

问当前大小为 m * n 的木板最多能够卖多少钱。

题目规定可以切割木块任意多次

解题思路分析

对于一块木板，通过垂直或水平方向切割后会得到两块更小的木板，也就得到了两个更小的子问题。求得两块小木板能够得到的最多钱数量，也就知道了大木块能够得到的最多钱数量，也就是求 最优子结构。
「先水平切割再垂直切割」和「先垂直切割再水平切割」是可以得到相同的木板，也就是殊途同归的，也就是存在 重叠的子问题。
对于高度和宽度相等的木板，能得到最多的钱数量是相等的，也就是与切法无关，无后效性。以上分析满足使用 动态规划 的条件。

具体实现

定义状态：dp[i][j] 表示高度为 i，长度为 j 的木板能够得到的最多钱数量。
初始化边界状态：出现在 prices 数组中的木块大小和售卖价格为初始状态，未出现的木块大小售卖价格为 0。
状态转移：
- 直接卖：dp[i][j];
- 枚举水平切割位置 k，找到最大收益的切割位置：dp[k][j] + dp[i - k][j]，k = [1, i)
- 枚举垂直切割位置 k，找到最大收益的切割位置：dp[i][k] + dp[i][j - k]，k = [1, j)
- 上述三种情况取最大值即为 dp[i][j]。
最后返回 dp[m][n] 即为答案。

优化

根据对称性，枚举切割位置 k 时，仅需举到一半的位置即可；
由于我们时从小到大递推计算 dp[i][j] 的，所以可以直接将初始化边界状态的 prices 记录到 dp[i][j] 中去，而不会印象最终计算结果。

复杂度分析

时间复杂度： $O(mn(m+n))$ ，m 为木板高度，n 为木板宽度。
空间复杂度： $O(mn)$ 。

代码实现

需要注意能够得到的最多钱数量是会溢出 int 存储范围的，需要使用更大的 long long int 进行存储。

class Solution {
public:
    long long sellingWood(int m, int n, vector<vector<int>>& prices) {
        //递推状态定义：dp[i][j]表示高度为i宽度为j的木块能够得到的最多钱数
        long long int dp[m + 1][n + 1];
        //初始化边界状态
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(auto &p : prices) dp[p[0]][p[1]] = p[2];
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                //直接卖的价格为 dp[i][j];
                //枚举水平和垂直方向切割位置
                for(int k = 1; k <= i / 2; k++) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j]);
                for(int k = 1; k <= j / 2; k++) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

总结

使用定长数组比变长数组 vector 在速度上会快很多。
在考虑使用「记忆化搜索递归」和「动态规划递推」的性能方面时，如果所有状态都要计算一遍，那么「动态规划递推」会更快一点；如果很多状态计算不到的话，那么「记忆化搜索递归」更快，因为有个函数调用的开销。本题需要遍历所有状态，「动态规划递推」更快
如果题目满足：①最优子结构、②重叠的子问题、③无后效性，这三个条件时可以考虑使用 动态规划 进行解题。
测试结果：

2312-及优化.png 可以看到优化后的效果还是很明显的。

结束语

我们都会遇到困难和挑战，甚至有时候会绝望、想放弃。然而，只有经得起今天的沮丧，才能收获明天的喜悦。不管前路多么崎岖，只要走的方向正确，都比站在原地更接近幸福。新的一天，加油！