算法习题 - 爬楼梯

MillionMile
231 阅读4分钟

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

问题

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

  1. 1 阶 + 1 阶
  2. 2 阶

示例 2：

输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

  1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
  2. 1 阶 + 2 阶
  3. 2 阶 + 1 阶

来源：力扣（LeetCode） 链接：leetcode-cn.com/problems/cl…

解法

一、递归法

题目分析：

  • 如果从第0级台阶爬到第1级台阶：有1种方法（爬1个台阶）
  • 如果从第0级台阶爬到第2级台阶：有2种方法（爬1个台阶 或 爬2个台阶）
  • 如果从第0级台阶爬到第3级台阶：有3种方法
    • 先从第0级台阶爬到第1级台阶，再从第1级台阶爬到2级台阶，再从第2级台阶爬到第3级台阶，即1,1,1
    • 先从第0级爬1个台阶到第1级台阶，再从第1级爬2个台阶到第3级，即1,2
    • 先从第0级爬2个台阶到第2级台阶，再从第2级爬1个台阶到第3级，即2,1
  • 如果从第0台阶爬到第4级台阶：有5种方法
    • 1,1,1,1
    • 1,1,2
    • 1,2,1
    • 2,1,1
    • 2,2
  • 如果从第0台阶爬到第5级台阶，有8种方法（这里懒得列了，你可以试试）

转换成数学的逻辑题，很容易看得出来：

f(1)=1

f(2)=2

f(3)=3

f(4)=5

f(5)=8

f(6)=13

f(7)=21

即1,2,3,5,8,13,21

可以发现，除了第一个数和第二个数外，从第三个数开始，他前面两个数的和就是他自身。

相当于

  • 第三个数（3）= 第一个数（1）+ 第二个数（2）

  • 第四个数（5）= 第二个数（2）+ 第三个数（3）

  • 第五个数（8）= 第三个数（3）+ 第四个数（5）

可得出：第n个数 = 第(n-2)个数 + 第(n-1)个数

写成递推公式则是：f(n) = f(n-2)+f(n-1)


这样即可使用递归来解决。

代码如下：

class Solution
{

    /**
     * @param Integer $n
     * @return Integer
     */
    function climbStairs($n)
    {
        //如果是爬到第1级台阶，直接返回1
        //如果是爬到第2级台阶，直接返回2
        if ($n === 1 || $n === 2) {
            return $n;
        }

        //如果是爬到>2级的台阶，则按照递推公式，使用递归返回
        return $this->climbStairs($n - 2) + $this->climbStairs($n - 1);
    }
}

提交一下： 在这里插入图片描述

这就很尴尬了，无疑，使用递归是能够实现的，但是时间却过长。


优化下递归：

以爬到第5级台阶为例，可以得出以下递归二叉树图 在这里插入图片描述 在递归中，计算第5级台阶的方法数时，便需要计算第4级台阶的方法数和第3级台阶的方法数；

而在计算第4级台阶的方法数时，是计算了第3级台阶的方法数和第2级台阶的方法数

在计算第3级台阶的方法数是，是计算了第1级台阶的方法数，并重复计算了第2级台阶的方法数

在这里插入图片描述

当然，同样被重复不止第2级台阶的方法数，哪怕在上面，第3级台阶的方法数和第1级台阶的方法数也是被重复计算了的

重复计算无异于提高了时间复杂度，这里，可考虑使用记忆数组，来记录已经计算过的第n级方法数，避免重复计算，将将时间复杂度优化到O(n)

代码如下：

class Solution
{
    //记忆数组，记录已经计算过的结果数据，避免重复计算，减少时间复杂度
    private $momeryArr = [];

    /**
     * @param Integer $n
     * @return Integer
     */
    function climbStairs($n)
    {
        //如果已经有记忆了的计算结果，直接返回
        if (isset($this->momeryArr[$n])) {
            return $this->momeryArr[$n];
        }

        //如果是爬到第1级台阶，直接返回1
        //如果是爬到第2级台阶，直接返回2
        if ($n === 1 || $n === 2) {
            //将计算结果记录下来
            $this->momeryArr[$n] = $n;
            return $n;
        }

        //如果是爬到>2级的台阶，则按照递推公式，使用递归返回
        //将计算结果记录下来
        $this->momeryArr[$n] = $this->climbStairs($n - 2) + $this->climbStairs($n - 1);
        return $this->momeryArr[$n];
    }
}

这样就提交成功，不超时了

在这里插入图片描述


二、动态规划法

按照递归的题解思路，我们已经得到递推公式：

  • 当n=1时，f(n) = 1
  • 当n=2时，f(n) = 2
  • 当n=3时，f(n) = f(n-1) + f(n-2)

代码如下：

class Solution
{
    /**
     * @param Integer $n
     * @return Integer
     */
    function climbStairs($n)
    {
        //如果是爬到第1级台阶，直接返回1
        //如果是爬到第2级台阶，直接返回2
        if ($n === 1 || $n === 2) {
            //将计算结果记录下来
            return $n;
        }
        $climbStairs[1] = 1;  //f(1)=1
        $climbStairs[2] = 2;  //f(2)=2


        //所要计算的内容，将计算结果保存到数组$climbStairs中，最终得到f(n)
        for ($i = 3; $i <= $n; $i++) {
            $climbStairs[$i] = $climbStairs[$i - 1] + $climbStairs[$i - 2];         // f(n) = f(n-1) + f(n-2)
        }

        //得到最终结果
        return $climbStairs[$n];
    }
}

在这里插入图片描述

使用滚动数组的逻辑来处理：使用三个变量$first、$second、$third，来取代$climbStairs数组。当n=1和n=2时，按照原逻辑返回即可。

当n=5时，我们先计算n=3的值，再计算n=4的值，再把两者相加

  1. 先默认first=1,first=1,second=2，对应f(1)和f(2)
  2. 求f(3)时，即是third=third=first+second，f(3)便是second，f(3)便是third
  3. 求f(4)时，我们也要实现f(4)=first+first+second，这样才能减少空间复杂度。那么，first就应是f(2)，first就应是f(2)，second就应是f(3)。所以在上一步时，就应该将两者的值给替换成上述情况。
  4. 回到求f(3)时的情景。在得到third后，应该将third后，应该将second的值给first，first，third的值给second，这样，second，这样，first就一直是f(n-2)，$third是f(n-1)
  5. 最后，求f(5)，也是同样的third=third=first+$second即能得到结果，循环也应到此结束，返回所求的f(5)的值

代码如下：

class Solution
{
    /**
     * @param Integer $n
     * @return Integer
     */
    function climbStairs($n)
    {
        //如果是爬到第1级台阶，直接返回1
        //如果是爬到第2级台阶，直接返回2
        if ($n === 1 || $n === 2) {
            //将计算结果记录下来
            return $n;
        }
        $first = 1;  //f(1)=1
        $second = 2;  //f(2)=2

        //所要计算的内容，将计算结果保存到数组$climbStairs中，最终得到f(n)
        for ($i = 3; $i <= $n; $i++) {
            $third = $first + $second;              // f(n) = f(n-1) + f(n-2)
            $first = $second;                    //更新$first的值，让下一次循环时，它是f(n-2)
            $second = $third;                    //更新$second的值，让下一次循环时，它是f(n-1)
        }

        //得到最终结果
        return $third;
    }
}

在这里插入图片描述

三、矩阵法

首先，来了解温习一下：矩阵的乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A 的列数和另一个矩阵 B 的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，他们的乘积C是一个m×p矩阵

C=(cij)C=(c_{ij})

它的一个元素：

ci,j=ai,1b1,j+ai,2b2,j+⋯+ai,nbn,j=∑r=1nai,rbr,jc_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots+a_{i,n}b_{n,j}=\sum\limits_{r=1}^na_{i,r}b{r,j}

并将此乘积记为:

C=ABC=AB

例如：

[102−131]×[312110]=[(1×3+0×2+2×1)(1×1+0×1+2×0)(−1×3+3×2+1×1)(−1×1+3×1+1×0)]=[5142]\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & ( 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0 ) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & ( -1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0 ) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right]

矩阵的乘法满足以下运算律：

结合律：

(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)

左分配律：

(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC

右分配律：

C(A+B)=CA+CBC(A+B)=CA+CB

矩阵乘法不满足交换律。

从上述解题思路已知：

Fn+1=Fn+Fn−1F_{n+1}=F_n+F_{n-1}

现在回到题目，首先我们可以构建这样一个递推关系：

[1110]×[f(n)f(n−1)]=[f(n)+f(n−1)f(n)]=[f(n+1)f(n)]\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}f(n)\\f(n-1)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}f(n)+f(n-1)\\f(n)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}f(n+1)\\f(n)\end{matrix}\right]

因此可得

[f(n+1)f(n)]=[1110]n×[f(1)f(0)]\left[\begin{matrix}f(n+1)\\f(n)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right]^n\times\left[\begin{matrix}f(1)\\f(0)\end{matrix}\right]

而f(1)=1，f(0)=0，进行公式转换

[1110]n×[10]=[m00m01m10m11]×[10]=[m00m10]\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right]^n\times\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}m00 & m01\\m10 & m11\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}m00\\m10\end{matrix}\right]

也就是，所求的n位置的方法数(fn)，即

[1110]n\left[\begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right]^n

获取其矩阵左下角m10

代码如下：

class Solution
{
    /**
     * @param Integer $n
     * @return Integer
     */
    function climbStairs($n)
    {
        $m = [
            [1, 1],
            [1, 0]
        ];
        //计算$m的n次幂
        $res = $this->pow($m, $n);

        //返回$m矩阵的左下角元素$m10
        return $res[1][0];
    }

    /**
     * @title 计算矩阵$a的n次幂
     * @param $a
     * @param $n
     * @return array|mixed
     */
    function pow($a, $n)
    {
        $ret = [
            [0, 1],
            [1, 0]
        ];
        //使用二分法获取
        while ($n > 0) {
            if (($n & 1) == 1) {
                $ret = $this->multiply($ret, $a);
            }
            $n >>= 1;
            $a = $this->multiply($a, $a);
        }
        return $ret;
    }

    /**
     * @title 计算两个两行两列的矩阵的积
     * @param $a
     * @param $b
     * @return mixed
     */
    function multiply($a, $b)
    {
        for ($i = 0; $i < 2; $i++) {
            for ($j = 0; $j < 2; $j++) {
                $c[$i][$j] = $a[$i][0] * $b[0][$j] + $a[$i][1] * $b[1][$j];
            }
        }
        return $c;
    }
}

在这里插入图片描述

四、通项公式

之前的方法我们已经讨论了 f(n)f(n) 是齐次线性递推，根据递推方程 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)，我们可以写出这样的特征方程：

x2=x+1x^2=x+1

求得

x1=1+52x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
x2=1−52x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

设通解为

f(n)=c1x1n+c2x2nf(n)=c_1x_1^n+c_2x_2^n

代入初始条件f(1)=1，f(2)=1，可得

c1=15c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}
c2=−15c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}

得到递推数列的通项公式

f(n)=15[(1+52)n−(1−52)n]f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]

接着我们就可以通过这个公式直接求第 n 项了。

代码如下：

class Solution
{
    /**
     * @param Integer $n
     * @return Integer
     */
    function climbStairs($n)
    {
        //套用通用公式进行计算
        $sqrt5 = sqrt(5);
        $fibn = pow((1 + $sqrt5) / 2, $n + 1) - pow((1 - $sqrt5) / 2, $n + 1);
        return (int)($fibn / $sqrt5);
    }
}

在这里插入图片描述

以上便是“爬楼梯”的各种解法，不得不说，人类的智慧是无穷的，这里搬砖外加自己理解总结，希望能够让你也有所提高。


参考文章：LeetCode-Solution

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