本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

@TOC

第一节 离散型随机变量及其分布

随机变量

定义

设$E$是随机试验，它的样本空间是$U=\{e\}$。如果对于每一个$e\in U$，有一个实数$X(e)$与之对应，这样就得到一个定义在$U$上的单值实值函数$X(e)$，称$X(e)$为随机变量。

graph LR
A[随机变量]
	A-->B[离散型]
	A-->C[非离散型]
		C-->D[连续型]
		C-->E[其他]

概率分布律

表示离散型随机变量$X$的所有不同取值$x_i(i=1,2,\cdots,n,\cdots)$与相应概率的关系式$P\{X=x_i\}=p_i(i=1,2,\cdots,n,\cdots)$或$X\sim\begin{pmatrix} x_1\cdots x_i\cdots \\ p_i\cdots p_i\cdots\end{pmatrix}$称为离散型随机变量的概率分布律

常用离散型随机变量及其分布律

• （0-1)分布（又称两点分布）

  $P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}\ \ (k=0,1;0<p<1)$

• 二项分布

  $P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}$

• 泊松(Poisson)分布

  $P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\ \ (k=0,1,2,\cdots)(\lambda>0)$

  若$n$比较大，有$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$成立。其中$\lambda=np$。

• 几何分布 进行重复独立试验，每次试验事件$A$发生的概率为$p(0<p<1)$，设$X$表示事件$A$首次发生时的试验次数，则称$X$服从几何分布

  $P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}(k=1,2,\cdots,n,\cdots)$

• 超几何分布 一个口袋里装有$a$个红球、$b$个白球，从中任取$m$个球$(1\leq m\leq a+b)$，设$X$表示从中取出的红球的个数，则称$X$服从超几何分布

  $P(X=k)=\frac{C_a^kC_b^{m-k}}{C_{a+b}^m}(1\leq k\leq min\{m,a\})$

分布函数

定义

对任意试试$x$，随机变量$X$的取值不超过$x$的累计概率$P\{X\leq x\}$是实数$x$的函数，称为随机变量$X$的累积分布函数(cumulative distrubution function)或累积概率，简称$X$的分布函数，记作$F_X(x)$或简记作$F(x)$，即$F(x)=P\{X\leq x\}$

若$F(x)$是随机变量$X$分布函数，对任意实数$x_1,x_2(x1<x_2)$，有$P\{x_1<X\leq x_2\}=P\{X\leq x_2\}-P\{X\leq x_1\}=F(x_2)-F(x_1)$

即分布函数$F(x)$可以表示随机变量$X$落在任一区间$(x_1,x_2]$上的概率，所以分布函数可以完整地描述随机变量概率分布的规律性。

性质

• $0\leq F(x)\leq1\ \ (-\infty<x<+\infty)$
• 若$x_1<x_2$，则$F(x_1)\leq F(x_2)$，即任一分布函数都是单调不减的
• $F(-\infty)=\lim_{x \to -\infty}F(x)=0$，$F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$
• 右连续，即$\lim_{x\to x_0+0}F(x)=F(x_0)$

_{此系列更多章节持续更新}

同步发文于我的CSDN，打字不易，转载请附上原文链接哦~
Tisfy：LetMeFly.blog.csdn.net/article/det…