LeetCode: 51. N 皇后

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51. N 皇后

来源：力扣（LeetCode）

链接: leetcode.cn/problems/n-…

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

• 1 <= n <= 9

解法

• 回溯：从每一行开始遍历，当前行开始按照列遍历，如果该行该列能够放该皇后，继续走下一层。这里需要准备三个集合来方便统计该列是否满足竖撇捺都符合要求；这里撇的关系是row+col， 捺是用row-col， 可以自己画图看看即可。

代码实现

回溯

python实现

class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        if n == 1:
            return [['Q']]
        
        self.cols = set()
        self.pie = set()
        self.na = set()

        self.res = []

        self.dfs(n, 0, [])
        print(self.res)
        return self._generate_res(n)

    def dfs(self, n, row, current_state):
        if row >= n:
            self.res.append(current_state)
            return
        
        for col in range(n):
            if col in self.cols or row+col in self.pie or row-col in self.na:
                continue
            
            self.cols.add(col)
            self.pie.add(row+col)
            self.na.add(row-col)
            self.dfs(n, row+1, current_state+[col])

            self.cols.remove(col)
            self.pie.remove(row+col)
            self.na.remove(row-col)
    
    def _generate_res(self, n):
        board = []
        for res in self.res:
            for col in res:
                board.append('.'*col+'Q'+ '.'*(n-col-1))
        # return [board[i:i+n] for i in range(0, len(board), n)]
        return [board[i*n:(i+1)*n] for i in range(len(self.res))]

c++实现

class Solution {
    vector<vector<int>> res;
    set<int> cols;
    set<int> pie;
    set<int> na;

public:
    void dfs(int n, int row, vector<int> current_state) {
        if (row >= n) {
            res.push_back(current_state);
            return;
        }
        for (int col=0; col<n; col++) {
            auto index1 = cols.find(col);
            auto index2 = pie.find(row+col);
            auto index3 = na.find(row-col);
            if (index1 != cols.end() || index2 != pie.end() || index3 != na.end()) 
                continue;

            cols.insert(col);
            pie.insert(row+col);
            na.insert(row-col);
            current_state.push_back(col);
            dfs(n, row+1, current_state);

            cols.erase(col);
            pie.erase(row+col);
            na.erase(row-col);
            current_state.pop_back();           
        }
    }

    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        if (n == 1)
            return {{"Q"}};
        
        dfs(n, 0, {});
        vector<vector<string>> fin_res;
        int len = res.size();
        vector<string> board;
        for(int i=0; i<len; i++) {
            vector<int> tmp = res[i];
            int len2 = tmp.size();
            for (int j: tmp) {
                string s;
                for (int k = 0; k<j; k++) {
                    s += '.';
                }
                s += 'Q';
                for (int l=j+1; l<n; l++) {
                    s += '.';
                }
                board.push_back(s);
            }
        }
        for(int i=0; i<res.size(); i++) {
            auto first = board.begin()+n*i;
            auto last = board.begin() + n*(i+1);
            vector<string> vec(first, last);
            fin_res.push_back(vec);
        }
        return fin_res;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(N!)$
• 空间复杂度： $O(N)$

参考

• leetcode.cn/problems/n-…