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Технокубок 2021 - Финал-B. Restore Modulo

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Problem Description

For the first place at the competition, Alex won many arrays of integers and was assured that these arrays are very expensive. After the award ceremony Alex decided to sell them. There is a rule in arrays pawnshop: you can sell array only if it can be compressed to a generator.

This generator takes four non-negative numbers $n$ , $m$ , $c$ , $s$ . $n$ and $m$ must be positive, $s$ non-negative and for $c$ it must be true that $0 \leq c < m$ . The array $a$ of length $n$ is created according to the following rules:

$a_1=s\ mod\ m$ , here xmody denotes remainder of the division of $x$ by $y$ ;
$a_i=(a_{i−1}+c)\ mod\ m$ for all $i$ such that $1<i≤n$ .

For example, if $n = 5$ , $m = 7$ , $c = 4$ , and $s = 10$ , then $a = [3, 0, 4, 1, 5]$ .

Price of such an array is the value of $m$ in this generator.

Alex has a question: how much money he can get for each of the arrays. Please, help him to understand for every array whether there exist four numbers $n$ , $m$ , $c$ , $s$ that generate this array. If yes, then maximize $m$ .

Input

The first line contains a single integer $t$ ( $1 \leq t \leq 10^5$ ) — the number of arrays.

The first line of array description contains a single integer $n$ ( $1 \leq n \leq 10^5$ ) — the size of this array.

The second line of array description contains $n$ integers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ( $0 \leq a_i \leq 10^9$ ) — elements of the array.

It is guaranteed that the sum of array sizes does not exceed $10^5$ .

Output

For every array print:

Sample Input

6
6
1 9 17 6 14 3
3
4 2 2
3
7 3 4
3
2 2 4
5
0 1000000000 0 1000000000 0
2
1 1

Sample Onput

19 8
-1
-1
-1
2000000000 1000000000
0

题目大意

给你一个包含 $n$ 个数字的数组 $a$ ，让你找是否存在 $n、m、c、s$ ，使得：

$a_1=s\ mod\ m$

$a_i=(a_{i−1}+c)\ mod\ m$

如果存在，要找最大的 $m$ 。

解题思路

首先根据题目要求，需要满足以下条件：

$m>0$

$n>0$

$s\geq0$

$0\leq c<m$

然后根据 $a_i$ 和 $a_{i-1}$ 的关系，有 $a_i=(a_{i−1}+c)\ mod\ m$ ，又有 $c<m$ 。那么只有两种情况：

$a_i=a_{i−1}+c$ 或

$a_i+m=a_{i−1}+c$

即：

$a_i-a_{i−1}=c$ 或

$a_i-a_{i−1}=c-m$

因此，我们需要关注 $a_i$ 和 $a_{i-1}$ 的差值 $diff$ 。不难发现，这样的差值最多有两个，再多就无法解出答案。

多说无益，上例子：

样例1：1 9 17 6 14 3

计算 $a_i$ 和 $a_{i-1}$ 的差值。分别为8 8 -11 8 -11（9-1、17-9、6-17、14-6、3-14）只有两种：8和-11 因此我们得到方程组： $\left\{\begin{array}{lcl}c=8\\或\\c-m=8\\\end{array} \right.$ 且 $\left\{\begin{array}{lcl}c=-11\\或\\c-m=-11\\\end{array} \right.$ 两个方程组需要同时满足。解方程组：若第一个方程组中 $c=8$ 成立，则第二个方程组中 $c-m=-11$ 必须成立，得 $\left\{\begin{array}{lcl}c=8\\m=19\\\end{array} \right.$ 若第一个方程组中 $c-m=8$ 成立，则第二个方程组中 $c=-11$ 必须成立，得 $\left\{\begin{array}{lcl}c=-11\\m=-19\\\end{array} \right.$ 第一个解满足题目要求，第二个解不满足要求，所以最大的 $m$ 是 $19$ ，此时 $c=8$ ，样例1输出19 8

样例2：4 2 2

计算 $a_i$ 和 $a_{i-1}$ 的差值。分别为-2 0（2-4、2-2）只有两种：-2和0 因此我们得到方程组： $\left\{\begin{array}{lcl}c=-2\\或\\c-m=-2\\\end{array} \right.$ 且 $\left\{\begin{array}{lcl}c=0\\或\\c-m=0\\\end{array} \right.$ 两个方程组需要同时满足。解方程组得： $\left\{\begin{array}{lcl}c=-2\\m=0\\\end{array} \right.$ 或 $\left\{\begin{array}{lcl}c=0\\m=0\\\end{array} \right.$ 都不满足条件，输出-1

样例3：7 3 4

计算得两种差值：-4和1 解得c=-1 m=-5或c=1 m=5 显然第一组不符合题意，但是第二组可要小心啦 $a$ 中的元素都是 $mod\ m$ 得到的，怎么可能比 $m$ 还大呢？所以又产生一个条件：

$m>max\{a_i\}$

样例4：2 2 4

计算得两种差值：0和2 解得c=0 m=-2或c=2 m=2 第一组 $m<0$ ，第二组 $m<4$ 不符合

样例5：0 1000000000 0 1000000000 0

计算得两种差值：1000000000和-1000000000 解得c=1000000000 m=2000000000或c=-1000000000 m=-2000000000 第一组m=2000000000 c=1000000000符合题意第二组不符合题意

样例6：1 1

计算只得一种差值：0 只有一个方程组： $\left\{\begin{array}{lcl}c=0\\或\\c-m=0\\\end{array} \right.$ 当 $c-m=0$ 成立时， $m$ 可以无穷大。顾输出特殊数字0

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
int a[100010];
int main()
{
    int N;
    cin >> N;
    while (N--)//N组测试数据
    {
        int n;
        cd(n);//scanf("%d",&n);
        int M = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            M = max(M, a[i]);//顺便记录最大值，因为m必须大于MAX{a}
        }
        int LeiJiChuXianDeDiff = 0; //控制在0,1,2
        int ChuXianDeDiff[2];//出现的diff
        bool canNot = 0; //canNot为1时代表不可以
        for (int i = 1; i < n; i++)//计算差值
        {
            int thisDiff = a[i] - a[i - 1];//差值diff
            if (!LeiJiChuXianDeDiff) //还没有出现过diff
            {
                LeiJiChuXianDeDiff++;//累计出现的diff
                ChuXianDeDiff[0] = thisDiff;//记录下这个diff
            }
            else if (LeiJiChuXianDeDiff == 1) //出现过一个diff了
            {
                if (thisDiff != ChuXianDeDiff[0]) //这次的和上次的不一样
                {
                    LeiJiChuXianDeDiff++;//累计出现的diff
                    ChuXianDeDiff[1] = thisDiff;//记录下这个diff
                }
            }
            else //出现过2个diff了
            {
                if (thisDiff != ChuXianDeDiff[0] && thisDiff != ChuXianDeDiff[1]) //和出现过的两个diff都不一样
                {
                    canNot = 1;//3个方程组不能同时满足
                    puts("-1");
                    break;
                }
            }
        }
        if (!canNot) //还存在可能
        {
            if (LeiJiChuXianDeDiff <= 1)//没有出现过diff或只出现过一个diff
            {
                puts("0");//只有一个方程组，m可以无穷大，输出0
            }
            else//出现了2个diff
            {
                int KeYiDeM = 0;//可以的m
                int ans = 0;//答案m
                int diff = ChuXianDeDiff[0];//第一个
                int m = diff - ChuXianDeDiff[1];
                int ansDiff = 0;//答案c
                if (m > M && diff >= 0) //可以了一种情况
                {
                    KeYiDeM++;
                    ans = m;
                    ansDiff = diff;
                }
                diff = ChuXianDeDiff[1];//更新diff
                m = diff - ChuXianDeDiff[0];//更新m
                if (m > M && diff >= 0) //可以了一种情况
                {
                    KeYiDeM++;
                    if (KeYiDeM == 1) //就这一种情况
                    {
                        ans = m;
                        ansDiff = diff;
                    }
                    else //有两种情况，需要取最大
                    {
                        if (ans > m) //第一种情况的m更大
                        {
                            //不用动
                        }
                        else //第二种情况m更大
                        {
                            ans = m;
                            ansDiff = diff;
                        }
                    }
                }
                if (KeYiDeM) //不是0
                {
                    printf("%d %d\n", ans, ansDiff);
                }
                else
                {
                    puts("-1");
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

总结

若存在，需满足：

出现的不同的 $diff$ 的个数 $\leq2$

$m$ 大于所有的 $a$ 的最大值

$m>0$

$n>0$

$s\geq0$

$0\leq c<m$

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