不同路径

力扣：62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：

输入： m = 3, n = 7
输出： 28

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向下 -> 向下
向下 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
这道题⽬，开始⼀看最直观的想法就是⽤图论⾥的递归深搜，来枚举出来有多少种路径。注意题⽬中说机器⼈每次只能向下或者向右移动⼀步，那么其实机器⼈⾛过的路径可以抽象为⼀颗⼆叉树，⽽叶⼦节点就是终点！
如图举例：

此时问题就可以转化为求⼆叉树叶⼦节点的个数，Java代码如下：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        return dfs(0, 0, m, n);
    }  
    
    public int dfs(int i, int j, int m, int n){
        if(i >= m || j >= n) // 数组越界
            return 0;
        if(i == m - 1 && j == n - 1)//找到了！返回
            return 1;
        return dfs(i + 1, j, m, n) + dfs(i, j + 1, m, n);
    }
}

⼤家如果提交了代码就会发现超时了！来分析⼀下时间复杂度，这个深搜的算法，其实就是要遍历整个⼆叉树。这颗树的深度其实就是m+n-1（深度按从1开始计算）。那⼆叉树的节点个数就是 2^(m + n - 1) - 1。可以理解深搜的算法就是遍历了整个满⼆叉树（其实没有遍历整个满⼆叉树，只是近似⽽已）所以上⾯深搜代码的时间复杂度为O(2^(m + n - 1) - 1)，可以看出，这是指数级别的时间复杂度，是⾮常⼤的。接着我们来用动态规划来解题。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

因为机器⼈从(0 , 0) 位置触发，到(m - 1, n - 1)终点。所以定义二维数组dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2. 确定递推公式

想要求dp[i][j]，只能有两个⽅向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。此时在回顾⼀下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有⼏条路径，dp[i][j - 1]同理。那么很⾃然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个⽅向过来。

3. dp数组如何初始化

如何初始化呢，⾸先dp[i][0]⼀定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有⼀条，那么dp[0][j]也同理。

所以初始化代码为：     
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

4. 确定遍历顺序

这⾥要看⼀下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上⽅和左⽅推导⽽来，那么从左到右⼀层⼀层遍历就可以了。这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]⼀定是有数值的。当然从上往下再从左往右也是一样的。

5. 举例推导dp数组

如图所示：

Java代码如下：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0; i < m; i++)
            dp[i][0] = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            dp[0][i] = 1;
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
    return dp[m - 1][n - 1];
    }  
}

其实⽤⼀个⼀维数组（也可以理解是滚动数组）就可以了，但是不利于理解，可以优化点空间，建议先理解了⼆维，在理解⼀维，步骤如图：

Java代码如下：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++)
            dp[i] = 1;
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++){
                    dp[j] += dp[j - 1] ;
            }
    return dp[n - 1];
    }  
}

注：文章参考微信公共号：代码随想录

动态规划基础部分05不同路径问题