本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。
图论模型-dijkstra算法
Dijkstra算法能求一个顶点到另一顶点最短路径
Dijkstra算法是一种标号法：给赋权图的每一个顶点记一个数，称为顶点的标号（临时标号，称T标号，或者固定标号，称为P标号）。
T标号表示从始顶点到该标点的最短路长的上界；
P标号则是从始顶点到该顶点的最短路长。
算法步骤：
例：
黄色框内数字为距V1点最近路程👆
到达V11点最近路程经过节点的顺序👆
带权邻接矩阵
表示顶点之间相邻关系的矩阵。
Inf为没有直接连接，数字为距离
代码：
weight= [0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf; 2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf; 8 6 0 7 5 1 2 Inf Inf Inf Inf; 1 Inf 7 0 Inf Inf 9 Inf Inf Inf Inf; Inf 1 5 Inf 0 3 Inf 2 9 Inf Inf; Inf Inf 1 Inf 3 0 4 Inf 6 Inf Inf; Inf Inf 2 9 Inf 4 0 Inf 3 1 Inf; Inf Inf Inf Inf 2 Inf Inf 0 7 Inf 9; Inf Inf Inf Inf 9 6 3 7 0 1 2; Inf Inf Inf Inf Inf Inf 1 Inf 1 0 4; Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 9 2 4 0;];
[dis, path]=dijkstra(weight,1, 11)
dijkstra.m
function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal)
n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start;
for i=1:n
if i~=start
label(i)=inf;
end, end
s(1)=start; u=start;
while length(s)<n
for i=1:n
ins=0;
for j=1:length(s)
if i==s(j)
ins=1;
end,
end
if ins==0
v=i;
if label(v)>(label(u)+w(u,v))
label(v)=(label(u)+w(u,v));
f(v)=u;
end,
end,
end
v1=0;
k=inf;
for i=1:n
ins=0;
for j=1:length(s)
if i==s(j)
ins=1;
end,
end
if ins==0
v=i;
if k>label(v)
k=label(v); v1=v;
end,
end,
end
s(length(s)+1)=v1;
u=v1;
end
min=label(terminal); path(1)=terminal;
i=1;
while path(i)~=start
path(i+1)=f(path(i));
i=i+1 ;
end
path(i)=start;
L=length(path);
path=path(L:-1:1);
图论模型-Floyd算法
引例：
某公司再六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。
算法思想
算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从i点到j点的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能：
- 直接从i到j
- 从i经过若干个节点k到j
所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j) 是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j) ，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
代码：
a= [ 0,50,inf,40,25,10;
50,0,15,20,inf,25;
inf,15,0,10,20,inf;
40,20,10,0,10,25;
25,inf,20,10,0,55;
10,25,inf,25,55,0];
[D, path]=floyd(a)
floyd.m
function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)
D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)~=inf
path(i,j)=j;
end,
end,
end
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
path(i,j)=path(i,k);
end,
end,
end,
end
if nargin==3
min1=D(start,terminal);
m(1)=start;
i=1;
path1=[ ];
while path(m(i),terminal)~=terminal
k=i+1;
m(k)=path(m(i),terminal);
i=i+1;
end
m(i+1)=terminal;
path1=m;
end
例题输出结果：
path中的值为下标ij表示的两点之间需经过的点
经验：
在一道题目中，最好使用多种算法进行计算，使论文更严谨，更有说服力。
