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🕒首发日期：2022年7月22日星期五

🌌上期文章：『算法导论』什么是算法？什么是程序？

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『递归概念与典型实例』

1.引言

1-100求和

方法1：使用循环求和 1+2+3+4+5+6+……+99+100

 伪代码：
 for i=1 to 100
    sum = sum + i

方法2：换个角度思考

 sum(n)表示1…n的和 
 ​
 sum(100) = sum(99) + 100  
 ​
 = sum(98) + 99 + 100  
 ​
 = ……  
 ​
 = sum(1) + 2 + 3 + 4 + …… + 99 + 100  
 ​
 = 1 + 2 + 3 + 4 +…… + 99 + 100

2.递归的定义

在调用一个函数的过程中又出现直接或间接调用该函数本身，称为函数的递 归(Recursion)调用，这种函数称为递归函数

• 若p函数定义中调用p函数，称之为直接递归
• 若p函数定义中调用q函数，而q函数定义中又调用p函数，称之为间接递归

3.递归的要素

1、递归表达式 （递归方程）

2、递归结束条件 （边界条件）

 int sum(int n){
     if(n==1)return 1;//递归结束条件
     else sum(n-1)+n;//递归表达式
 }

4.递归特点

(1) 需要解决的问题可以转化为一个或多个子问题来求解，而这些子问题的 求解方法与原问题完全相同，只是在数量规模上不同

(2) 递归调用的次数必须是有限的

(3) 必须有结束递归的条件来终止递归

5.递归的特点

(1) 定义是递归的（阶乘、斐波那契数列等）

(2) 数据结构是递归的（单链表、二叉树等）

(3) 问题的求解方法是递归的（汉诺塔、回溯法等）

6.递归的优缺点

递归的优缺点

优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性， 因此它为设计算法、调试程序带来很大方便

缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空 间都比非递归算法要多

解决方法：在某些递归算法中可消除递归调用，使其转化为非递归算法

4.典型递归实例

4.1求阶乘

n!=1×2×3×……×n

 int f(int n){
     if(n==1)return 1;//递归结束条件
     else n*f(n-1);//递归表达式
 }

4.2Fibonacci数列

斐波那契(Fibonacci)数列因数学家列奥纳多·斐波那 契以兔子繁殖为例引入，故又称为 “兔子数列” 。

 int fibonacci(int n){
     if(n<=1)return 1;//递归结束条件
     return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);//递归表达式
 }

4.3青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。

• 求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

就是fibonacci的变形题，读者可自行实现