写的比较杂 不懂可以问 Q:啥是微积分 A:1.我们可以把⚪圆的某个同心圆通过"微分"化为矩形 求矩形面积而得出S同心圆 以此类推 同样可以通过"积分"把"矩形"化为一种"递增+递减"类似三角形的图形 2.用"微分"切成多个小扇形 再"积分"扩成"矩形" Practice: 用 5mm 的笔，沿着半径为 1m 的圆形画一圈，请问画下的面积是多大？ 【解法一】S=Π*(1+0.005)^2-Π1^2≈0.03149 【解法二】S≈ds变化R/dR=2Π0.005≈0.03149 (类似A:1 一.极限 概念上 比如lim下x→mf(x) 其意思是当x向某个值（或无穷远处）处靠近时， f(x)向哪个值靠近 我们研究极限时，大部分时候都是在和“无穷小”以及“无穷大”打交道 如何求函数极限呢？ 基本步骤 1.把自变量极限代入 无法求值请继续 2.识别无穷大无穷小(∞ 3.求解-化简 分裂 变形 之类 注意:1.1/无穷="0".1/“0”=无穷 2.无穷小×有界函数=无穷小 3.注意方向(指正负 对于无穷小相关的极限，我们可采用的方法有： （1）化简：消除“致 0 因子” （2）等价无穷小代换 （3）洛必达法则 等价无穷小代换:sm.ms/image/lQMxd… m 中间空格 Tips 洛的时候要看好可不可以 是不是0/0或∞/∞型 无穷大则可以"抓大头"(无穷小也可以 当两个相差无穷倍的量相进行加减时，这时候我们眼里可以忽略相对较小的一个量 说完函数极限 我们判断函数的连续性与间断点 连续不一定可导 可导一定连续 而连续的函数 没有断点 断电一般出现在分段函数的分界点、函数定义域的边界 (没错 分段函数 所以 我们要拿这个间断点为突破口 确定其类型后 再求极限即可 ----------分界线-极限---------- 二.微分 P1.导数 为了研究所谓的"瞬时速度"/"瞬时**"...-瞬时变化率 数学家们发明一概念-导数 引入:跳水-变化率问题 假设我们可以用某二次函数(人教A版选修二给出)来找运动员此时高度与时间.那如何描述他从跳起到落入水中某一时刻速度? 这就要用到导数了 假如我们直接取某段时间内速度平均值试试 当平均速度为0时 结合实际 显然 跳水时没静止状态 也就是非静止 怎么可能v=0呢 所以 排除这个方法 我们可以将这个范围缩小(我这里不能说是啥范围 因为自变量未确定含义 再来求 越来越接近 导数定义正类似 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率 导数与变化率有着千丝万缕的关系 甚至在学了一元二次方程时都做到这种题 导数(变化率)似乎在初中就接触到(只不过没看极限 导数计算:sm.ms/image/swhqL… m中空格 导数求导:sm.ms/image/pREOh… m中空格 来一道综合一点的题 f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)为奇函数 其图像在(1,f(1))处切线与直线x-6y-7=0垂直 导函数f‘(x)最小为-12 求abc 根据奇函数特性 知道c=0 f’值代-12 求b 根据直线斜率 代数即可 函数与极限 众所周知 微积分是数学概念 牛顿提出 包括高等数学中研究函数的微分和积分 1.函数 极限 与连续 多映射与函数 首先 我们来复习下集合 <discussion=62568e4bfa4ee80001c71685>集合 顺便 来扩展下上期集合没讲的东西 (1)笛卡尔乘积/直积 AxB={(x,y)｜x∈A,y∈B} x取自A y取自B 所以xy有前后顺序，AB不满足交换律 (2)RxR={(x,y)｜x∈R，y∈R} 表示xoy平面所有点的集合 前面可以记作R² 然后 我来扩展下邻域 它是个特殊的区间 例如：以a为中心点任何开区间称为点a的邻域 记作U(a) 点a的δ邻域：设δ是个正数 则开区间(a-δ，a+δ)称为点a的δ邻域.a为这个邻域的中心.δ则为这个邻域的半径 去心邻域：点a的δ邻域去掉中心a.叫点a的去心δ邻域 开区间(a-δ，a)称为点a的左δ邻域 开区间(a，a+δ)称为点a的右δ邻域 那么这里列举一个x₀邻域 点x₀的δ邻域：以点x₀为中心,δ为半径的开区间 我们把它记作U(x₀,δ)/无要求时可简记为U(x₀) 去心邻域 左右邻域也是这样(类比x₀和a Rt 学Arduino的兄弟们可能经常用的一个东西-映射 这个我个人理解原理差不太多 x每元→y有唯一像 称 f从集合到集合的映射 上面的记作f：x→y或者f：x→y=f(x),x∈X 这里y为像 f(x)为原像(或称为逆像 注释：1.X为映射f的定义域：D(f)=x 2.像的主体为值域 记作R(f)或f(x) 即R(f)=f(x)={y｜y=f(x)，x∈X} 3.三种情况 1> 满射 值域为Y 2> 单射 每个y∈R(f)都有唯一厚像 x∈X 3> --映射.既为满射也为单射 4.g：X→U₁,f：U₂→Y(U₁⊆U₂) 则f乘g：X→Y 则为g和f构成的复合映射或映射的乘积 5.逆映射(只有--映射有) 复习下函数 f：X→Y或者f：x→y=f(x),x∈X X为f的定义域 记为Df或者D(f) 值域：Zf或者Z(f) 一元函数：X⊆R,Y⊆R时 f为一元函数 y=f(x) 二元函数：X⊆R²,Y⊆R时 f为二元函数 y=f(x₁,x₂) n元函数：X⊆Rⁿ,Y⊆R时,f为n元函数 y=f(x₁,x₂,.....,「x下角标n」) (n元函数经f作用后都变为一个确定实数) 隐函数：x²+y²-R²=0 y-x-eˣsiny 显函数：y=「1/2」ax² 绝对值函数 符号函数 取整函数 反函数 仅适用于--映射 x=f的-1次方(y)称为y=f(x)的反函数 (两者图像一样 xy互换后图像关于y=x对称) 三角不等式 即三角形中两边之和＞第三边 推论：1.两条相交线段ab和cd 必定ac+bd＜ab+cd 2.a,b∈R 有｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜ 且仅当第一个等号有ab≤0,第二个等号有ab≥0时等号成立 3.向量三角不等式 对于任意两个向量（向量的知识请等待滑少李某新作 我让给他了）a和b 其加强的不等式｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜也成立 4.复数三角不等式(复数知识请看滑少的新冲精-实数 或者互反的黑精) 若推论三将两向量换另外俩复数 定理仍然成立 引申/应用 请看广义托勒密定理,欧拉定理和欧拉不等式 接下来 开始本作品第二部分-极限 极限的概念分为很多 对于不同的情况 有着不同的讲解 1.数列的极限 1> 单调数列 分为单调增加/减少数列和单调不减/不增数列 2> 有界数列 收敛数列必有界 无界数列必发散 对数列{x下角标n},若彐M＞0,则Vn∈N* 均有｜x下角标n｜≤M 分为有下界 彐M,Vn∈M,x下角标n≥M 有上界 彐M,Vn,x下角标n∈M 3>无界数列 对数列{x下角标n},若VM＞0,总彐n∈N* 均有｜x下角标n｜＞M 3> (1)对{x下角标n},当n无限增大时 「x下角标n」的值无限接近于某一常数A 则称A为数列的极限,即{x下角标n}的极限存在/{x下角标n}收敛 (2)VE＞0,彐N＞0,当n＞N时,恒有｜「x下角标n」-A＜E成立 则称{x下角标n}的极限为A/{x下角标n}收敛于A (3)若{x下角标n}不存在极限,则称{x下角标n}是发散的 (4)定义只可用于验证极限 不可计算极限(「Lim下x→∞」「x下角标n」=a和「x下角标n」≈a) 那 如何计算N呢？ 1.可用验证极限的定义反解n 再取整 2.用给定的已知N来找 3.合理放缩 再进行反解n 再找N 海涅定理 又称归结原则 「lim下x→a」f(x)=b 存在的必要原则为取f(x)的定义域内的任意数列{a下角标n},然后「lim下n→∞」「a下角标n」=a,且满足a下角标n≠a.则有「lim下n→∞」「a下角标n」=b 它表明了函数极限和数列极限直接的关系 咱来说说导数和微分 导数:概念: 有点难理解... 我们代入问题看看吧 切线问题 圆的切线（冀教版初三学 别的不知道）可指与曲线只有一个交点的直线 那别的曲线呢 这个定义合适吗？ 比如 抛物线y=a²中 两坐标轴均满足 但是实际上只有一个x轴满足 为啥呢？ 探究下 设有曲线z及z上的Q 在Q外另取点P 连QP作为割线 但P沿Z趋于Q时 如果割线QP绕Q旋转而趋于极限位置(指只要弦长｜QP｜趋于零，∠PQT也会趋于零)QT(为切线) 设Q(x₀，y₀)为Z上一点 y₀=f(x₀) 定切线 在Q外取Z上一点P(x₁，y₁) 则QP的斜率为tanβ=「y₁-y₀」/「x₁-x₀」=「f(x₁)-f(x₀)」/「x₁-x₀」 ∠β为QP倾角 当P沿Z趋于Q时 x₁→x₀ 则极限存在 设极限为k，k=「lim下「x₁→x₀」」乘以「「f(x₁)-f(x₀)」/x₁-x₀」 k为割线的斜率的极限(切线斜率) k=tanα，α为切线QT倾角 于是 以k为斜率的直线QT为Z在切点Q的切线 导数具体定义 通过上面的题 历史上的大佬们就搞出了导数 1.函数在一点处的导数和导函数 定义:设函数y=f(x)在x₀的某邻域内有定义.当自变量x在x₀处取得增量-变化量x(x₀+变化量x仍然在此邻域) 相应的 因变量取得增量变化量y=f(x₀+变化量x)-f(x₀) 如果变化量y和变化量x之比当变化量x→0时的极限存在 则说y=f(x)在点x₀处可导 并称这个极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数钱 记为f'(x₀)=「lim下变化量x→0」乘以「变化量y比变化量x」=「lim下变化量x→0」乘以「f(x₀+变化量x)-f(x₀)」/变化量x 当上面这个式子不成立时 就说y=f(x)在x₀处不可导(如果不可导原因为变化量x→0.比式「变化量y/变化量x」→∞) 如果函数y=f(x)在开区间i内每点都可导 那么说y=f(x)在开区间i内可导.这时候 对于任一x∈i 都有对应着函数的确定导数值.这 就是导函数 导函数定义式为y'=lim下「变化量x→0」乘以「f(x+变化量x)-f(x)」/h 接下来 讲亿讲导数函数在几何上的意义吧 函数y=f(x)在x₀处的导数为f'(x₀)=tanα 在几何上表示y=f(x)在Q处切线的斜率 (α为倾角) 如果y=f(x)在x₀处导数为无穷大 则这时y=f(x)的割线以直线x=x₀为极限 根据点斜式方程可知函数在Q的切线方程为y-y₀=f'(x₀)(x₁-x₀) 过Q且与切线垂直的直线为法线 若f'(x₀)≠0 则法线斜率为1/「f'(x₀)」 法线方程为y-y₀=1/「f'(x₀)」(x₁-x₀) 这便是几何意义 倒腾明白真不难 接下来讲讲函数可导性 设函数y=f(x)在x处可导 当变化量x右箭头0,变化量y右箭头0时 函数在x处连续 所以 x处可导一定x处连续 但 反过来说 x处连续 x处可不可导呢？ 不可导 高阶函数 emmm 函数有二次函数 三次函数 把数字转到导数上 导数也有不同的
