算法（前端）：放苹果问题中的动态规划和递归

前言

• 算法是衡量一个面试者是否优先的重要指标。花时间和精力去了解掌握常见算法，十分有必要。
• 在学习算法时，动态规划和递归时常容易被混淆，本文中会尝试做出解答。

题目

来源：放苹果

把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？

注意：如果有7个苹果和3个盘子，（5，1，1）和（1，5，1）被视为是同一种分法。
数据范围：0 <= m <= 10 ，1<= n <=10 。

动态规划解题思路：

n 个盘子放苹果的问题可以转化为： n个盘子都有苹果和 n 个盘子至少有一个没有苹果（也就是 n-1 个盘子放 m 个苹果的问题）。

解法一：递归

function dp(m, n){
    if(m==0 || n==1){
        return 1;
    } else if(n > m){
        return dp(m, m)
    } else {
        // n 个盘子放苹果的问题可以转化为： n个盘子都有苹果和 n 个盘子至少有一个没有苹果（也就是 n-1 个盘子放 m 个苹果的问题）
        return dp(m, n-1) + dp(m-n, n)
    }
}

解法二：动态规划的通常解法

function dp(m, n){
   for(let i = 0; i<=m; i++){
       arr[i][1] = 1;
   }
   for(let i = 1; i<=n; i++){
       arr[0][i] = 1;
   }
   
   // n 个盘子放苹果的问题可以转化为： n个盘子都有苹果和 n 个盘子至少有一个没有苹果（也就是 n-1 个盘子放 m 个苹果的问题）
   for(let i =1; i<=m; i++){
       for(let j =2; j<=n; j++){
           if(i>=j){
               arr[i][j]=arr[i][j-1] + arr[i-j][j]
           } else {
               arr[i][j] = arr[i][i]
           }
       }
   }
   return arr[m][n];
}

动态规划

动态规划问题具有三个特征：具有三个特征：最优子结构、无后效性和重复子问题。

• 最优子结构：一般情况下是指的求最优解，比如字符串编辑距离的最短路径问题； 合唱队问题的最少出列数；
• 无后效性：无后效性指的是某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。
• 重复子问题：分解为很多重复子问题，且必须记住结果，空间换时间。

动态规划和递归的区别

• 动态规划是一种算法思路，递归是实现手段，维度不同。
• 递归问题实际上会存在重复计算。数据规模较大时，效率很低。

其他

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