1.题目
请实现有重复数字的升序数组的二分查找
给定一个元素有序的（升序）长度为n的整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的第一个出现的target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1
数据范围：1<n<10000
示例 1：
输入：[1,2,4,4,5],4
返回值：2
说明：从左到右，查找到第1个为4的，下标为2，返回2
示例 2：
输入：[1,2,4,4,5],3
返回值：-1
示例 3：
输入：[1,1,1,1,1],1
返回值：2
提示：
1.首先，从有序数组的中间的元素开始搜索，如果该元素正好是目标元素，则搜索过程结束，否则进行下一步。
2.如果目标元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半区域查找，然后重复第一步的操作。
3.如果某一步数组为空，则表示找不到目标元素。
2.解决思路
方法一：非递归，while循环
取中间值：parseInt((high + low) / 2);
low,high为区域首尾元素的索引；
结束循环的条件：low > high。
方法二：递归算法，同理
3.实现代码
// 非递归算法
function binary_search(arr, key) {
var low = 0
var high = arr.length - 1;
while(low <= high) {
var mid = parseInt((high + low) / 2);
if(key == arr[mid]) {
return mid;
} else if(key > arr[mid]) {
// 目标元素大于中间值，取右边
low = mid + 1;
} else if(key < arr[mid]) {
// 目标元素小于中间值，取左边
high = mid -1;
}
}
return -1;
};
var arr = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,23,44,86];
var result = binary_search(arr,10);
alert(result); // 9 返回目标元素的索引值
// 递归算法
function binary_search(arr,low, high, key) {
if (low > high) {
return -1;
}
var mid = parseInt((high + low) / 2);
if(arr[mid] == key) {
return mid;
}else if (arr[mid] > key) {
high = mid - 1;
return binary_search(arr, low, high, key);
}else if (arr[mid] < key) {
low = mid + 1;
return binary_search(arr, low, high, key);
}
};
var arr = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,23,44,86];
var result = binary_search(arr, 0, 13, 10);
alert(result); // 9 返回目标元素的索引值
时间复杂度：
总共有n个元素，循环k次，n,n/2,n/4,....n/2^k，因为n/2^k>=1，则令n/2^k=1，可得k=log2n,（是以2为底，n的对数）
O(log2n) => O(logn)
4.扩展
局限性：
有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2
如果想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者想得到 target 的右侧边界，即索引 3，以上算法是无法处理的。
如果先找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索，可以实现，但是难以保证二分查找对数级的时间复杂度
寻找左侧边界的二分搜索
function left_bound(nums, target) {
let left = 0;
let right = nums.length;
while (left < right) {
const mid = parseInt((left + right) / 2);
if (nums[mid] === target) {
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return nums[left] === target ? left : -1;
}
寻找右侧边界的二分搜索
function right_bound(nums, target) {
let left = 0;
let right = nums.length;
while (left < right) {
const mid = parseInt((left + right) / 2);
if (nums[mid] === target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return nums[left - 1] === target ? left - 1 : -1;
}
5.应用
- 二分插入排序
使用二分查找在有序序列中查找插入点，再插入
- 数字在排序数组中出现次数
右边界 - 左边界
