本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。
01背包问题
有 NN 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 ii 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];
int w[N], v[N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);//物品个数n，背包容积m
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);//物品体积，物品价值
for(int i = 1; i <= n; i ++)//从前往后遍历物品个数
for(int j = m; j >= v[i]; j --)//从后往前遍历物品体积
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);//计算价值
printf("%d", f[m]);//输出固定背包容量下最大的价值
return 0;
}
特点：每种物品只有一个，只有放和不放两种情况
做法：第一层循环从前往后遍历物品，第二层循环从后往前遍历体积
完全背包问题
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;//物品种数n，背包容积m
int v[N], w[N];//物品体积v，物品价值w
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);//物品体积v，物品价值w
for (int i = 1; i <= n; i ++ )//从前往后遍历物品种类
for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )//从前往后遍历物品体积
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);//计算价值
printf("%d", f[m]);//输出固定背包容量下的最大价值
return 0;
}
特点：每种物品有无限个
做法：第一层循环从前往后遍历物品，第二层循环从前往后遍历体积
多重背包问题
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。 输出最大价值。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;//物品种数n，背包容量m
int v[N], w[N], s[N];//物品体积v，物品价值w，物品数量s
int f[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);//物品种数n，背包容量m
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &s[i]);//物品体积v，物品价值w，物品数量s
for (int i = 1; i <= n; i ++ )//遍历物品种类
for (int j = 0; j <= m; j ++ )//遍历背包容量
for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ )//遍历物品数量
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
特点：物品有一定的个数，介于01背包和完全背包之间
做法：第一层循环从前往后遍历物品种类，第二层循环从前往后遍历背包容量，第三层循环从前往后遍历物品数量
多重背包问题II
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 12010, M = 2010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];
int main()
{
cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int a, b, s;
cin >> a >> b >> s;
int k = 1;
while (k <= s)
{
cnt ++ ;
v[cnt] = a * k;
w[cnt] = b * k;
s -= k;
k *= 2;
}
if (s > 0)
{
cnt ++ ;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
n = cnt;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
分组背包问题
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> s[i];
for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= 0; j -- )
for (int k = 0; k < s[i]; k ++ )
if (v[i][k] <= j)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
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