二次曲线引入及二次曲线的化简

一、二次方程与二次曲线

满足二次方程 $A x^2 + 2Bxy + C y^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (A, B, C 不全为0)$ 的所有点的集合，称为二次曲线。

圆锥曲线一定是二次曲线，但二次曲线不一定是圆锥曲线。

根据平移公式

\begin{cases} x = x' + h \\ y = y' + k \end{cases}

代入二次曲线方程，有

A(x' + h)^2 + 2B(x' + h)(y' + k) + C(y' + k)^2 + 2D(x'+h) + 2E(y'+ k) + F = 0

整理，并用 x 代替 x'，可以得到

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2(Ah + Bk + D)x + 2(Bh + Ck + E) + (Ah^2 + 2Bhk + Ck^2 + 2Dh + 2Ek + F) = 0

可以发现，平移不会改变二次曲线的二次项系数。

根据旋转公式

\begin{cases} x = x' \cos θ - y' \sin θ \\ y = x' \sin θ + y \cos θ \end{cases}

代入二次曲线方程，整理化简后可得各项系数与原系数有以下关系

\begin{cases} A' = A\cos^2 θ + 2B\sin θ\cos θ + C\sin^2 θ \\ B' = (C - A)\sin θ\cos θ + B(\cos^2 θ - \sin^2 θ) \\ C' = A\sin^2 θ - 2B\sin θ\cos θ + C\cos^2 θ \\ D' = D\cos θ + E\sin θ \\ E' = -D\sin θ + E\cos θ \\ F' = F \end{cases}

我们可以发现以下结论：

观察圆锥曲线的标准方程

\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

y^2 = 2px

我们发现它们不含二元项 xy，也不含二次项和一次项中的某些项，具有非常简洁的方程形式。

如果一个二次方程不含二元项 xy，且总的项数（除 0 外）不超过 3 个，这样的方程称为最简二次方程。用过一系列平移变化和旋转变化得到最简二次方程的过程，成为二次方程的化简。

根据上文，将坐标原点平移至 (h, k) 后的二次方程形式如下

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2(Ah + Bk + D)x + 2(Bh + Ck + E) + (Ah^2 + 2Bhk + Ck^2 + 2Dh + 2Ek + F) = 0

\begin{cases} D' = Ah + Bk + D \\ E' = Bh + Ck + E \end{cases}

令 D' = E' = 0，我们得到二元一次方程组

\begin{cases} Ah + Bk + D = 0 \\ Bh + Ck + E = 0 \end{cases}

该方程组有解的充要条件为

\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix} = 0

设系数组 $\delta = B^2 - AC$ ，则 $\delta = - \begin{vmatrix} A & B \\ B & C\end{vmatrix}$

当 $\delta \neq 0$ 时，方程组存在唯一解 $(h, k)$ ，满足

h = - \dfrac{1}{\delta} \begin{vmatrix} B & D \\ C & E\end{vmatrix}, k = \dfrac{1}{\delta} \begin{vmatrix} A & D \\ B & E\end{vmatrix}

此时

\begin{aligned} F' &= Ah^2 + 2Bhk + Ck^2 + 2Dh + 2Ek + F \\ &= (Ah + Bk + D)h + (Bh + Ck + E)k + (Dh + Ek + F) \\ &= Dh + Ek + F \\ &= -\dfrac{1}{\delta} (D \cdot \begin{vmatrix} B & D \\ C & E\end{vmatrix} - E \cdot \begin{vmatrix} A & D \\ B & E\end{vmatrix} + F \cdot \begin{vmatrix} A & B \\ B & C\end{vmatrix}) \\ &= -\dfrac{1}{\delta} \begin{vmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F\end{vmatrix} \end{aligned}

设 $\Delta = \begin{vmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F\end{vmatrix}$ 为方程的另一个系数组，则有

F' = - \dfrac{\Delta}{\delta}

分析此时曲线的性质，可知其关于原点对称，则原曲线关于点 $(h, k)$ 中心对称。

一般地，如果二次方程的系数组 $\delta = B^2 - AC = 0$ ，那么二次曲线有一个对称中心，我们称之为有心二次曲线。此时，我们可以通过平移变化消去二次方程中的一次项。

如果 $B \neq 0$ ，我们可以通过坐标系旋转变化消去 xy 项

根据上文，逆时针旋转 θ 后二次项的系数如下

\begin{cases} A' = A\cos^2 θ + 2B\sin θ\cos θ + C\sin^2 θ \\ B' = (C - A)\sin θ\cos θ + B(\cos^2 θ - \sin^2 θ) \\ C' = A\sin^2 θ - 2B\sin θ\cos θ + C\cos^2 θ \\ \end{cases}

令 B' = 0，可得

\begin{aligned} B' &= (C - A)\sin θ\cos θ + B(\cos^2 θ - \sin^2 θ) \\ &= B \cos 2θ - \dfrac{A - C}{2} \sin 2θ \\ &= 0 \end{aligned}

因此

\cot 2θ = \dfrac{A - C}{2B} \Rightarrow θ = \dfrac{1}{2} arccot \dfrac{A - C}{2B}

此时，由

\sin 2θ = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 2θ}}

\cos 2θ = \dfrac{\cot 2θ}{\sqrt{1 + \cot^2 2θ}}

可得

A' = \dfrac{A + C}{2} + \dfrac{B}{\sin 2θ}

C' = \dfrac{A + C}{2} - \dfrac{B}{\sin 2θ}

若原二次方程无一次项，则旋转后的二次方程也无一次项。因为平移变化相较于旋转变化更为简单，因此在 $\delta \neq 0$ 的情况下, 我们优先使用平移变化化简。