本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

矩阵快速幂

常规求幂

求$a^n$的值，如果用纯for循环，要循环n次乘a。 时间复杂度：O(n) 空间复杂度：S(1)

递归

与二分法异曲同工。 例：

只需要将幂次二分，取平方（再乘a）即可。

时间复杂度：O(logn) 空间复杂度：O(logn)

快速幂

对n进行二进制分解。 例：求解$a^{57}$

1. 将57转为二进制111001，对二进制为1的位取值，即 $a^{57} = a^{1} * a^{8} * a^{16} * a^{32}$
2. 求每位二进制的值：
   1. 初始化a = 1
   2. 从低位起，每位二进制值为a *= a
3. 将二进制为1的位取值相乘。

public int MOD = 1000000007;

public static int qp(int a, int n) {
    int ans = 1;
    while (n > 0) {
        if ((n&1) == 1) {
            ans = (int) (((long)ans * a) % MOD);
        }
        a = (int) (((long)a * a) % MOD);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

矩阵快速幂

矩阵乘法求解递归状态转移

以求解斐波那契数列为例

利用矩阵乘法

设定矩阵为A

则可以分解最终矩阵为

确定矩阵A

任意状态转移方程均可确定矩阵A，例：

java 代码实现

public static int[][] matrix_qp(int n) {
    //以斐波那契数列为例
    //矩阵A
    //0 1
    //1 1
    int[][] A = new int[2][2];
    A[0][0] = 0;
    A[0][1] = A[1][0] = A[1][1] = 1;

    //斐波那契数列0 1矩阵
    //1 0
    //1 0
    int[][] F = new int[2][2];
    F[0][0] = F[1][0] = 1;
    F[0][1] = F[1][1] = 0;

    return matrix_multi(matrix_mi(A, n), F);
}

public static int[][] matrix_multi(int[][] a, int[][] b) {
    int[][] ans = new int[2][2];
    for (int i = 0; i < 2; ++i)
        for (int j = 0; j < 2; ++j)
            for (int k = 0; k < 2; ++k)
                ans[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
    return ans;
}

public static int[][] matrix_mi(int[][] a, int n) {
    int[][] ans = new int[2][2];
    ans[0][0] = ans[1][1] = 1;
    while(n > 0) {
        if ((n&1) == 1)
            ans = matrix_multi(ans, a);
        a = matrix_multi(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

public static void show_matrix(int[][] a) {
    System.out.println("Matrix");
    for (int i = 0; i < a.length; ++i) {
        for (int j = 0; j < a[i].length; ++j)
            System.out.print(a[i][j] + " ");
        System.out.println();
    }
}

上述代码未作模运算。

做模运算时需注意：

当矩阵包含负数时，要保证被模数大与0

(a%c - b%c + c)%c

参考资料

矩阵快速幂 - b站