背包算法

生活在城市的猫
293 阅读5分钟

0-1背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

暴力的解法

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。

二维dp数组

背包最大重量为4。

物品为

重量价值
物品0115
物品1320
物品2430
  1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

  1. 确定递推公式

那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

  • 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
  • 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

  1. dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {

// 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。

    dp[0][j] = 0;

}



// 正序遍历

for(int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {

    dp[0][j] = value[0];

}

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少

其实从递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

  1. 确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

// weight数组的大小 就是物品个数

for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品   

    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量    

        if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];       

        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }

}





// weight数组的大小 就是物品个数

for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量  

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品      

        if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];       

        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }

}

要理解递归的本质和递推的方向。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

public class Test {

    public static void main(String[] args) {

        int[] weight = {1, 3, 4};

        int[] value = {15, 20, 30};

        int bagsize = 4;

        testweightbagproblem(weight, value, bagsize);

    }

    public static void testweightbagproblem(int[] weight, int[] value, int bagsize){

        int wlen = weight.length, value0 = 0;

        //定义dp数组：dp[i][j]表示背包容量为j时，前i个物品能获得的最大价值

        int[][] dp = new int[wlen][bagsize + 1];

        //初始化：背包容量为0时，能获得的价值都为0

        for (int i = 0; i < wlen; i++){

            dp[i][0] = value0;

        }

        //初始化第一行数据

        for(int j = weight[0]; j <= bagsize; j++) {

            dp[0][j] = value[0];

        }

        //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量

        for (int i = 1; i < wlen; i++){

            for (int j = 1; j <= bagsize; j++){

                if (j < weight[i]){

                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];

                }else{

                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

                }

            }

        }

        //打印dp数组

        for (int i = 0; i < wlen; i++){

            for (int j = 0; j <= bagsize; j++){

                System.out.print(dp[i][j] + " ");

            }

            System.out.print("\n");

        }

    }

}

一维dp数组（滚动数组）

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

  1. 确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

  1. 一维dp数组的递推公式

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

  1. 一维dp数组如何初始化

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

  1. 一维dp数组遍历顺序

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品  

    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量

        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }

}

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！ 。如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历（修改的在前面，累加的是前面的因此重复添加了）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序

因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！

  1. 举例推导dp数组

一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

public class Test {

    public static void main(String[] args) {

        int[] weight = {1, 3, 4};

        int[] value = {15, 20, 30};

        int bagWight = 4;

        testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);

    }



    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){

        int wLen = weight.length;

        //定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值

        int[] dp = new int[bagWeight + 1];

        //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量

        for (int i = 0; i < wLen; i++){

            for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){

                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

            }

        }

        //打印dp数组

        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){

            System.out.print(dp[j] + " ");

        }

    }

}

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次） ，求将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

重量价值
物品0115
物品1320
物品2430

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

 // 先遍历物品，再遍历背包

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { 

 // 遍历物品   

    for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { 

 // 遍历背包容量

        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }

}



 // 先遍历背包，再遍历物品

for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { 

 // 遍历背包容量    

    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { 

 // 遍历物品        

    if(j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }

}

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序无所谓

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

public class Test {

    public static void main(String[] args) {

        int[] weight = {1, 3, 4};

        int[] value = {15, 20, 30};

        int bagWight = 4;

        testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);

    }



    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){

        int wLen = weight.length;

        //定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值

        int[] dp = new int[bagWeight + 1];

        //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量

        for (int i = 0; i < wLen; i++){

            for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){

                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

            }

        }

        //打印dp数组

        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){

            System.out.print(dp[j] + " ");

        }

    }

}
avatar
文章
阅读
粉丝