使用比特运算的乘法运算

问题

要找到两个数字num1 和num2 的乘法，使用位运算。

我们将使用俄罗斯农民的乘法方法来解决这个问题。

基本条款：

a×b = (a×2)×(b/2)
如果b 是偶数，那么a×b = (a×2)×(b/2)
如果b 是奇数，那么a×b = ((a×2)×(b/2) + a)

乘法的步骤：

在一个循环内（执行到b>=1）。
- 我们不断地将a 乘以2，并不断地将b 除以2。
- 如果b 是奇数，那么，result+=a 。
- a 乘以2，再将b 除以2。
- 当b == 1 ，答案将是result + a

算法

假设我们得到了两个数字num1 和num2

初始化变量result 为0
- 重复这个过程，直到num2 大于0
  - 如果num2 是奇数，则将num1 加到result
  - 将num2 减半，并使用位移运算符将num1 加倍。
打印result

用2个步骤的例子进行解释

例1：正数x正数

让我们取a = 4 和b = 5
，因为这两个数字都是正数，然后a = 4 (0b 0000100) 和b = 5 (0b 000101)
进行初始化

result = 0

第一次迭代：由于b 是奇数，那么result = 4 （结果+=4），a = 8 (0b 000100) 和b = 2 (0b 000010)
第二次迭代：当b 是偶数时，result = 4,a = 16 (0b 001000) 和b = 1 (0b 000001)
第3次迭代：当b 是奇数时，result = 20 （结果+=16），a = 32 (0b 010000) 和b = 0 (0b 000000)
由于b==0 (0b 000000) 循环将停止，我们将得到result = 20

例2：正数 x 负数

让我们把a = 4 和b = -5

如果其中任何一个数字是负数，那么我们将设置一个布尔变量neg=true
，并将两个数字都设置为正数
，然后
a = 4 (0b 0000100) 和b = 5 (0b 000101)
初始化

result = 0

第一次迭代：当b 是奇数时，result = 4 （结果+=4），a = 8 (0b 000100) 和b = 2 (0b 000010)
第二次迭代：当b 是偶数时，result = 4,a = 16 (0b 001000) 和b = 1 (0b 000001)
第3次迭代：当b 是奇数时，result = 20 (结果+=16),a = 32 (0b 010000) 和b = 0 (0b 000000)
由于b==0 (0b 000000) 循环将停止，并且由于neg=true，我们将返回result = 20

的2的补数
，即-20

[(~(result)+1)]

使用位操作实现乘法

以下是使用位操作实现乘法的方法：

#include<iostream>
using namespace std;

int multiply_bitewise(int a, int b)
{
  int n1 = abs(a), n2 = abs(b), result = 0;
  bool neg = false;
  if(min(a,b)<0 && max(a, b)>=0) neg=true;
  while(n2>0)
  {
    if(n2&1==1) result+=n1;
    n2>>=1; n1<<=1;
  }
  if(neg) return (~(result)+1);
  else return result;
}

int main()
{
  cout<<multiply_bitewise(4, 5)<<endl;
  cout<<multiply_bitewise(4, -5)<<endl;
  cout<<multiply_bitewise(-4, 5)<<endl;
  cout<<multiply_bitewise(-4, -5)<<endl;
  return 0;
}

你也可以用位加法代替上面代码中的加法运算。你可以在这里了解顺位加法。

输出

时间和空间复杂度

时间复杂度

我们的乘法算法的时间复杂度是。O(logN * logN)

其中：

N是要乘的数字。
logN是用来表示N的比特数。

这是因为对数N位，对于每一个位，我们做一系列的步骤，其中包括一个加法，其时间复杂度为O（logN）。

由于系统中的数据类型的位数是固定的（例如整数的32位），那么logN=32，因此，乘法在这方面被认为是一个常数操作。

使用乘法的最佳算法，时间复杂度将是O(logN loglogN)。你可以在这里了解更多关于乘法算法的信息。

注：这种优化算法在2019年被发现，人们普遍认为它已经达到了理论极限，但还没有被证明。

空间复杂度

位数乘法的空间复杂度是：O(1)
位数乘法过程中没有产生额外的空间。

通过OpenGenus的这篇文章，你一定对位数乘法有了完整的认识。好好享受吧。

如何使用位操作来计算乘法

使用比特运算的乘法运算

用2个步骤的例子进行解释

使用位操作实现乘法

时间和空间复杂度