假设检验——《概率论与数理统计》第八章学习笔记

物联黄同学
706 阅读4分钟

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

前言

感谢台风暹芭，让我回不去宿舍，被迫在实验室过夜，思来想去，睡不着，恰逢期末考临近，决定写一篇的第八章的学习笔记。

和之前的系列一样，教材不变。内容上，选取第八章的前三节，即假设检验，正态均值，正态方差三个部分的知识点，为什么没有其他内容，因为这次考试大概不会考。

形式上，相比前面的章节写了很多课本的定义，这次我会有更多的个人理解，尽可能直击考点。

MindMap

在这里插入图片描述

假设检验

这一节其实就是告诉你假设检验的一些定义，以及对假设检验这一问题的解决过程与步骤。

一些定义

显著性水平

我们用来对检验做衡量的标准，一般在式子中以 α出现。

检验统计量

Z=X‾−μ0σ/nZ = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt n}

原假设 与 备择假设

我们将检验问题叙述成：在显著性水平α下，检验假设：

H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0H_0:\mu =\mu_0, \qquad H_1 : \mu \neq \mu_0

H0 为 原假设， H1 为 备择假设。

拒绝域

就是在某个区域上取值作为 检验统计量的值时，拒绝 原假设，或者说接受备择假设，这个区域就是拒绝域，而拒绝域的边界点其实就叫 临界点。

显著性检验

因为检验的依据是样本，所以检验势必会有犯错的可能，这里主要有两种错误：

  1. H0为真，但是拒绝。
  2. H1为真，但是接受原假设。

我们显然希望犯这两种错误的概率都小，但是在数理统计中，如果样本容量限定了，则减小犯一类错误的概率减小的同时，另一类的概率往往增大。所以在数理统计中，采取的是对第一类控制，不考虑 第二类。这种检验就是 假设性检验。

双边检验与单边检验

这里其实就是我们在做假设的时候，对于H1，μ可能大于μ0，有可能小于μ0，如果是两种都可能，那就是 双边假设， 而如果只是其中一种可能，那就是 单边假设，根据方向又可以分为 左边检验 和 右边检验。对于方向，我的个人理解是看 拒绝域或者备择假设的方向。

个人理解的解题步骤

通过阅读与理解课本的例题，发现了假设检验问题的求解过程：

  1. 先根据题目确定检验假设。
  2. 根据参数确定检验统计量。
  3. 然后根据假设和检验统计量判断是那种假设，然后确定拒绝域。
  4. 取样，其实就是根据样本观察值判断是否接受原假设。

本篇中所有的总体都是正态总体，针对它的两个参数，均值μ和方差σ^2，有以下两种假设检验。

正态总体均值的假设检验

单个总体

这里根据方差是否已知，又可以分为 Z检验 和 t检验。

方差已知，Z检验

其实很简单，我们根据假设然后接下来需要检验样本均值是否符合假设，在显著性水平α以及其他参数下，检验统计量为：

Z=X‾−μ0σ/nZ∼N(μ,σ2)Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} \\ Z \sim N(\mu, \sigma^2)

接下来只需根据是单边假设还是双边假设来求解就可以了。

双边就取α/2，检验统计量的绝对值高于 显著性水平下对应的 正态函数值就拒绝原假设。

方差未知，t检验

这里其实就是 用了样本方差s 来近似替换 总体方差σ，当然这里需要用到t分布。

X‾−μ0S/n∼t(n−1) \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt n} \sim t(n-1)

两个总体——t检验

我们对两个独立的正态总体

N(μ1,σ2),N(μ2,σ2)N(\mu_1, \sigma^2), N(\mu_2, \sigma^2)

方差相同，均值不同，所以可以剔除检验假设：

H0:μ1−μ2=δ,H1:μ1−μ2≠δH_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta, \quad H_1:\mu_1 - \mu_2 \neq \delta

所以给出检验统计量：

t=(X‾−Y‾)−δSw1n1+1n2Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1n2−2t= \frac{(\overline{X} - \overline{Y})- \delta}{S_w\sqrt{\frac1{n_1} + \frac 1{n_2}}} \\ S_w^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S^2_2}{n_1 n_2 - 2}

成对数据的检验——t检验

其实这里就是将两组数据对比求差异，然后做检验，我们一般是直接将数据相减后作为一个新的正态总体样本，接下来其实就是单个总体下的情况了。

正态总体方差的假设检验

单个总体

在均值中，我们用到的是Z和t检验，说白了就是用到正态分布和 t分布, 但是在求方差的假设检验的时候，其实用到的是

(n−1)S2σ02∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n - 1)

两个总体

用到的是F分布

S12/S22σ12/σ22∼F(n1−1,n2−1)\frac{S_1^2/ S_2^2}{\sigma_1^2/ \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2 -1)

正态总体的检验法表

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后话

天亮了，回去睡觉了，这一章结合教材阅读会更好一点。

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