欧几里德算法与扩展欧几里德算法

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欧几里德算法： 定理：a 和 b 两个整数的最大公约数等于b 与 a % b的最大公约数 形式化表示：假设a, b!=0, 则gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。 证明：

1. 设 c = gcd(a, b), 则 a = cx, b = cy，且gcd(x,y)=1
2. 可知 a % b = a - k * b = cx - kcy = c (x - ky)
3. 可知 c 也是a % b 的 factor (这里我们证明了c是b和a%b的公约数，下面要证明c是b和a%b的最大公约数，所以要证明y和x-ky互质)

// 下面4,5,6,7证明x - ky与y互质

4. 假设gcd(x - ky, y) = d

5. 则 y = nd, x - ky = md, 则 x = knd + md = (kn + m)d

6. 我们有 a = cd(kn + m)，b = cdn

7. 可得gcd(a,b) >= cd, 又因为gcd(a, b)=c，所以d = 1

8. 综上可得， gcd(a,b)=gcd(b,r)=gcd(b, a%b)。

实现： 递归版：

int gcd(int a, int b) {
    return (b ? gcd(b, a % b) : a);
}

注意，递归版不需要检查big, small。因为如果a < b， 那么a%b=a, 所以gcd(b, a%b)就自动切换了大小。

迭代版：

int gcd(int a, int b) {
    int big=(a>b)? a:b;
    int small=(a<b)? a:b;
  
    while(small!=0) {
        int temp=small;
        small=big%small;
        big=temp;
    }
 
    return big;
}

扩展欧几里得算法

首先来看看一个定理。如果a,b为正整数，gcd(a,b)=c, 且ax+by=1有整数解，那么c=1 (即a,b互质)。 证明： 令a=mc, b=nc,那么mcx+ncy=1 => c(mx+ny)=1。这里c和mx+ny都是正整数，而它们乘积为1，所以c=1。证毕。

由此我们可知，当求ax+by=1 的整数解时，(如果整数解确实存在) 我们可以知道gcd(a,b)=1。 我们从最后一轮往第一轮递推(类似数学归纳法)。 当我们用欧几里得算法求得gcd(a,b)=1时，最后一轮一定是a'=1,b'=0。所以对应特解是a'=x'=1，b‘=0，y'可为任意值(可令其为0)。注意这里a',b',x',y'都不是原来的a,b,x,y。

而根据数学归纳法，当第i轮是b, a%b, 对应x,y，即对应方程为bx+(a-kb)y=1，即b(x-ky)+ay=1。 则第i-1轮是a, b，对应x',y'，即x'=y， y'=x-ky。这样才能使得i层成立的同时，i-1层也同时成立。

代码实现如下：

#include<stdio.h>
int ex_gcd(int a, int b, int *x, int *y) {
    if (!b) {
        *x = 1, *y = 0;
        return a;
    }
    
    int ret = ex_gcd(b, a % b, x, y);
    int temp = *x;
    *x = * y;
    *y = temp - a / b *(*x);
 
    return ret;
}
 
int main() {
    int a = 0, b = 0, x = 0, y = 0;
    while(~scanf("%d%d", &a, &b)) {
        printf("gcd(%d, %d) = %d\n", a, b, ex_gcd(a, b, &x, &y));
        printf("%d * %d + %d * %d = %d\n", a, x, b, y, a * x + b * y);
    }
 
    return 0;
}

注意，该算法可以用作求ax+by=1 (a,b互质)的整数解，也可以用于求ax+by=gcd(a,b)的整数解。