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数据结构不仅能存储值，还可以帮助我们高效地对数据进行操作。比如，当我们想存储一些一维数据点、自然数或是字符串时，我们通常会使用一维数组。为了能快速地检索数据，我们一般会使用自然次序索引（1 < 2 < 3），或者是像字典树、二叉树这样的数据结构。
假如我们需要使用二维空间存储数据，那我们该如何设计一个快速索引？假如我们需要按邻近度排序（如找到某一点的所有临近点），那又该如何设计？
按自然次序检索是行不通的，因为我们将有两个不同的索引 —— 一个用于横坐标，另一个用于纵坐标。这样一来，我们就必须在数据库中搜索所有位置为 X + delta 或 Y + delta 的点，之后再对两个集合进行交集操作。
这时我们需要采用空间索引的方法。
空间索引通常作为二维空间高效访问的手段。空间索引的实际应用场景包括但不限于：共享汽车（来福车、优步）、餐饮配送（DoorDash、Yelp）等。举例来说，DoorDash 通过空间索引来获取最靠近的配送点，Yelp 也利用空间索引搜寻离你最近的餐饮店的位置。
类似的应用还包括 KNN 算法，该算法用于搜索给定样本在特征空间中的所有邻近样本。
范围查询：查找一个包含给定坐标的对象（坐标查询），或者是与特定区域重叠的对象（窗口查询）。
空间连接：查找在空间上相互影响的对象对。我们能从空间方面了解对象之间的相交、邻近和包含关系。
现在你已经知道了什么是空间索引，那么哪种数据结构能提高索引数据点的效率呢？如果你想到了四叉树，那么恭喜你，回答正确。在接下来的内容中，我们将讨论什么是四叉树，以及它是如何存储稀疏数据来实现索引的。
什么是四叉树？
四叉树通过划分空间来提高遍历和搜索的效率。它是一种将数据划分为四个部分的树形数据结构。叶节点中保存的值取决于具体的应用场景。被细分的区域可以是正方形也可以是矩形。四叉树和字典树类似，不同之处在于四叉树只有四个子节点，并且子节点需要按照某些特征决定存储位置。比方说，如果某点的条件符合左上象限的范围，那么就遍历左上象限。
对于需要进行搜索的稀疏数据，四叉树可以是一个很好的选择。它可以保存化学反应中的数据片段，图像处理中的像素等等。
我将会在本中实现一个四叉树。
在开始之前，需要说明的是，四叉树的实现将包含三个部分。第一个是 Point，用于存储坐标（以 x 和 y 表示）。第二个是 QuadNode，用于保存在四叉树中的节点。最后一个是 QuadTree，也就是四叉树本身。
Point 类
static class Point {
int x;
int y;
public Point(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
// 更像是一个深拷贝
public Point(Point p) {
this.x = p.x;
this.y = p.y;
}
@Override
public String toString() {
return "(x: " + x + " y: " + y + ")";
}
@Override
public boolean equals(Object o) {
if (!(o instanceof Point)) {
return false;
}
Point p = (Point) o;
return x == p.x && y == p.y;
}
}
QuadNode 类
static class QuadNode<T> {
T data;
Point point;
public QuadNode(Point p, T data) {
this.data = data;
this.point = p;
}
public QuadNode(int x, int y, T data) {
this.data = data;
this.point = new Point(x, y);
}
@Override
public String toString() {
return "data: " + data + " point: " + point;
}
}
QuadTree 类
class QuadTree<P> {
Point topLeft;
Point bottomRight;
Set<QuadNode<P>> nodes;
// 子树（这也可以像字典树一样使用，它是一个四叉树数组）
QuadTree<P> topLeftTree;
QuadTree<P> topRightTree;
QuadTree<P> bottomLeftTree;
QuadTree<P> bottomRightTree;
int maxLen;
public QuadTree(Point topLeft, Point bottomRight, int maxLen) {
if (maxLen <= 0) {
throw new IllegalArgumentException("maxLen should be a non-negative integer");
}
this.topLeft = topLeft;
this.bottomRight = bottomRight;
this.maxLen = maxLen;
nodes = new HashSet<>();
}
// 如果是叶子节点，那么所有的节点将存储于 nodes 中，四个子树都为 null
public boolean isLeaf() {
return topLeftTree == null;
}
// 当存储节点超过上限（maxLen）时，细分该四叉树
public boolean shouldSubDivide() {
return nodes.size() > maxLen;
}
public void subDivide() {
int midX = (topLeft.x + bottomRight.x) / 2;
int midY = (topLeft.y + bottomRight.y) / 2;
// 创建四个子树（象限）
topLeftTree = new QuadTree<>(
new Point(topLeft.x, topLeft.y),
new Point(midX, midY),
maxLen
);
topRightTree = new QuadTree<>(
new Point(midX, topLeft.y),
new Point(bottomRight.x, midY),
maxLen
);
bottomLeftTree = new QuadTree<>(
new Point(midX, bottomRight.y),
new Point(topLeft.x, midY),
maxLen
);
bottomRightTree = new QuadTree<>(
new Point(bottomRight.x, bottomRight.y),
new Point(midX, midY),
maxLen
);
// 重新分配当前的所有节点至子树中
for (QuadNode<P> node : nodes) {
insert(node.point, node.data);
}
nodes.clear();
}
}
插入
和二叉搜索树一样，我们需要从根节点开始，查找当前坐标所属的节点，然后递归遍历当前节点，直到到达叶子节点。
然后我们将坐标插入到四叉树中，检查是否需要进一步细分。如果需要进一步细分，我们需要将该区域细分为四个象限，并将内部数据重新分配给子节点。
public void insert(Point p, P data) {
System.out.println("插入 " + p + " data: " + data);
QuadTree<P> curr = this;
while (!curr.isLeaf()) {
if (p.x < (curr.topLeft.x + curr.bottomRight.x) / 2) {
if (p.y < (curr.topLeft.y + curr.bottomRight.y) / 2) { // 左上
System.out.println("位于左上四叉树");
curr = curr.topLeftTree;
} else { // 左下
System.out.println("位于左下四叉树");
curr = curr.bottomLeftTree;
}
} else {
if (p.y < (curr.topLeft.y + curr.bottomRight.y) / 2) { // 右上
System.out.println("位于右上四叉树");
curr = curr.topRightTree;
} else { // 右下
System.out.println("位于右下四叉树");
curr = curr.bottomRightTree;
}
}
}
// curr 现在是叶子节点
QuadNode<P> quadNode = new QuadNode<>(p, data);
curr.nodes.add(quadNode);
// 如果当坐标是 maxLen，那我们就需要做进一步的划分
if (curr.shouldSubDivide()) {
System.out.println("细分 " + curr);
System.out.println("--- 重新分配节点至子树 ---");
curr.subDivide();
System.out.println("------ 重新分配完毕 ------");
}
}
搜索
从根节点开始，校验当前坐标所属的区域，然后递归遍历该区域，直到到达叶节点，接着返回所有匹配的节点。
public Set<QuadNode<P>> search(Point p) {
System.out.println("搜索 " + p);
QuadTree<P> curr = this;
while (!curr.isLeaf()) {
if (p.x < (curr.topLeft.x + curr.bottomRight.x) / 2) {
if (p.y < (curr.topLeft.y + curr.bottomRight.y) / 2) {
curr = curr.topLeftTree;
} else {
curr = curr.bottomLeftTree;
}
} else {
if (p.y < (curr.topLeft.y + curr.bottomRight.y) / 2) {
curr = curr.topRightTree;
} else {
curr = curr.bottomRightTree;
}
}
}
Set<QuadNode<P>> matchedNodes = new HashSet<>();
for (QuadNode<P> node : curr.nodes) {
if (p.equals(node.point)) {
matchedNodes.add(node);
}
}
return matchedNodes;
}
总结
- 在需要存储地理位置信息时，自然次序搜索并不能满足实际的需求。因此我们一般使用空间索引来搜索二维空间。
- 四叉树等效于一维空间中的二叉树。当你对稀疏数据有搜索要求时，不妨考虑使用四叉树。
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