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👨🎓作者简介：一位喜欢写作，计科专业的大二菜鸟
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🕒首发日期：2022年6月30日星期四
🌌上期文章：『动态规划』最大子段和(穷举法和动态规划法)
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1. 问题描述
LIS(Longest Increasing Subsequence，最长递增子序列)：给出一个序 列
a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7 ....an，求它的一个子序列（设为s1 ,s2 ,...sn），使得这个 子序列满足这样的性质s1<s2<s3<...<sn，并且这个序列的长度最长
给出一串正整数，如下
1 2 5 3 4 3
能找到最长的单调递增的子序列为
1 2 3 4
2. 动态规划法
2.1 设计思路
设b[i]是在a[i]为单调递增子序列最后一个元素时，所得最长单调递增子序列 的长度为：
思路：
- 输入母串的长度
- 循环输入母串数组以及母串的状态数组并初始化
- 外层循环，从左往右遍历，记录待更新数组为
a[i]- 里层循环，遍历母串的左闭右开区间
[0,i)，找到比a[i]小且状态值最大的数，更新a[i]的状态数组b[i]- 用一个变量max记录状态数组
b[i]的最大值就是最大子序列的数量
2.2 图解算法
a数组存储原始数据
b数组存储对应最长上升子序列长度
2.3 算法实现
时间复杂度O(n^2)
空间复杂度：S(n)
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
int n;
int []num;
int []dp;
while(scanner.hasNext()) {
n=scanner.nextInt();
num=new int[n+1];
dp=new int[n+1];
//输入母串，初始化状态数组dp
for(int i=1;i<=n;++i) {
num[i]=scanner.nextInt();
dp[i]=1;
}
//动态规划算法
for(int i=1;i<=n;++i) {
for(int j=1;j<=i-1;++j) {
if(num[j]<num[i]) {
dp[i]=Math.max(dp[j]+1, dp[i]);
}
}
}
//遍历找出dp数组中的最大值
int max=0;
for(int i=1;i<=n;++i) {
max=Math.max(max, dp[i]);
}
System.out.println(max);
}
scanner.close();
}
}
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 1003, INF = 0x7f7f7f7f;
int a[maxn], f[maxn];
int n,ans = -INF;
int main()
{
//输入母串的长度
scanf("%d", &n);
//获取母串并初始化状态数组
for(int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
f[i] = 1;
}
//反转数组
reverse(a+1,a+n+1);
//两层循环，更新状态数组
for(int i=1; i<=n; i++){
for(int j=1; j<i; j++){
if(a[j] < a[i]){
if(f[i]<f[j]+1){
f[i]=f[j]+1;
}
//f[i] = max(f[i], f[j]+1);
}
}
}
//记录最大的状态数组值，即最长上升子序列长度
for(int i=1; i<=n; i++){
//cout<<f[i]<<" ";
ans = max(ans, f[i]);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
2.4 算法优化
2.4.1 优化分析
内层循环所作的操作是在区间a[1,i)找到比a[i]小且状态值最大的数，就是一个查找的过程，我们所熟知的二分查找的效率是O(logn)，可不可以用二分来优化这个内层循环呢？
维护两个数组
b数组记录当前的最长单调递增长度
c数组记录的是当前长度下最后一个元素的值（不是很好理解，下面详说）
我们所要做的操作就是依次遍历序列中后续元素，更新两个数组
2.4.2 具体步骤
遍历到元素
a[i]时，先逆序检查记录当前长度下最后一个元素的值的c数组，找到当前表中第一个小于a[i]的元素k，及其对应的长度为x（记录在b数组中）；然后新建一个长度为x+1值（表示要准备将a[i]加入到序列中，但是要满足下列条件）看b数组中是否存在
x+1这个值
- 如果不存在，就b数组新加值为
x+1的项目，c数组中新加对应的值a[i]- 如果存在，则比较当前的
a[i]和c数组中对应位置的值，如果a[i]较小，则更新此值为a[i]
2.4.3 图解算法
通过一番分析发现，c数组始终是递增有序的，所以我们可以用二分查找找到小于a[i]的最大元素c[x]的后一个元素，与之比较大小，如果a[i]小就替换c[x+1]=a[i]
如果a[i]大于c数组的最后一个元素，就可以直接将a[i]添加在c数组的后面
分析这么多其实理解了就是两行话
要找到c数组中第一个大于a[i]的元素，然后更新它的值，如果第一个大于a[i]的元素是c数组的最后一个元素，就直接将a[i]添加在c数组的后面)
老师的ppt绕来绕去，看了我半天结果理解起来就这么简单，哎，感觉自己前面白分析了
2.4.4 代码实现
时间复杂度：O(nlogn)
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
int n,cl;
int []a;
int []b;
int []c;
while(scanner.hasNext()) {
n=scanner.nextInt();
a=new int[n+1];
b=new int[n+1];
c=new int[n+1];
for(int i=1;i<=n;++i) {
a[i]=scanner.nextInt();
}
b[1]=1;c[1]=a[1];
cl=1;
for(int i=1;i<=n;++i) {
//如果第一个大于a[i]的元素是c数组的最后一个元素
//就直接将a[i]添加在c数组的后面)
if(a[i]>c[cl]) {
c[++cl]=a[i];
b[cl]=cl;
}else {
int low=1,high=i;
while(low<=high) {
int mid=(low+high)/2;
if(c[mid]<a[i]) {low=mid+1;}
else {high=mid-1;}
}
//二分查找找到c数组中第一个大于a[i]的元素，然后更新它的值
c[low]=a[i];
}
}
System.out.println(b[cl]);
for(int i=1;i<=cl;++i) {
System.out.print(c[i]);
if(i!=cl)System.out.print(" ");
}
}
}
}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[1005];
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>arr[i];
reverse(arr,arr+n);
vector<int>stk;
stk.push_back(arr[0]);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
if (arr[i] > stk.back())
stk.push_back(arr[i]);
else//二分查找
*lower_bound(stk.begin(), stk.end(), arr[i]) = arr[i];
}
cout << stk.size() << endl;
return 0;
}
