力扣每日一题0630-1175. 质数排列

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请你帮忙给从 1 到 n 的数设计排列方案，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从 1 开始）上；你需要返回可能的方案总数。

让我们一起来回顾一下「质数」：质数一定是大于 1 的，并且不能用两个小于它的正整数的乘积来表示。

由于答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod 10^9 + 7 之后的结果即可。

示例 1：

输入：n = 5
输出：12
解释：举个例子，[1,2,5,4,3] 是一个有效的排列，但 [5,2,3,4,1] 不是，因为在第二种情况里质数 5 被错误地放在索引为 1 的位置上。

示例 2：

输入：n = 100
输出：682289015

质数判断 + 组合数学

求符合条件的方案数，使得所有质数都放在质数索引上，所有合数放在合数索引上，质数放置和合数放置是相互独立的，总的方案数即为「所有质数都放在质数索引上的方案数」$\times$「所有合数都放在合数索引上的方案数」。求「所有质数都放在质数索引上的方案数」，即求质数个数 $\textit{numPrimes}$ 的阶乘。「所有合数都放在合数索引上的方案数」同理。求质数个数时，可以使用试除法。最后注意计算过程中需要对 $10^9+7$ 取模。

const MOD = 1000000007;
var numPrimeArrangements = function(n) {
    let numPrimes = 0;
    for (let i = 2 ; i <= n ; i++) {
        if (isPrime(i)) {
            numPrimes++;
        }
    }
    let res = 1;
    let m = n - numPrimes;
    while (numPrimes > 0) {
        res = res % MOD;
        res *= numPrimes;
        numPrimes--;
    }
    while (m > 0) {
        res = res % MOD;
        res *= m;
        m--;
    }
    return res;
};

const isPrime = (n) => {
    if (n === 1) {
        return false;
    }
    for (let i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i === 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^{3/2})$。求 $n$ 个数中质数个数的时间复杂度为 $O(n^{3/2})$，阶乘的时间复杂度为 $O(n)$，总的时间复杂度为 $O(n^{3/2})$。
• 空间复杂度： $O(1)$，只使用了常数空间。