本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。
I was trying to solve problem '1234 - Harmonic Number' , I wrote the following code
long long H( int n ) {
long long res = 0;
for( int i = 1; i <= n; i++ )
res = res + n / i;
return res;
}Yes, my error was that I was using the integer divisions only. However, you are given n, you have to find H(n) as in my code.
Input
Input starts with an integer T ( ≤ 1000) , denoting the number of test cases.
Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n < 231) .
Output
For each case, print the case number and H(n) calculated by the code.
Sample Input
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2147483647
Sample Output
Case 1: 1
Case 2: 3
Case 3: 5
Case 4: 8
Case 5: 10
Case 6: 14
Case 7: 16
Case 8: 20
Case 9: 23
Case 10: 27
Case 11: 46475828386
题意：
让我们求f（n）=n/1+n/2+n/3+......+n/n；同时注意n/i取整；
第一种：
首先我们先看数据的范围，n (1 ≤ n < 2 31)，数据范围太大，如果我们按照题目中的代码直接暴力肯定超时，那么，我们就要优化代码；
f=n/x这个函数关于y = x 对称对称点刚好是sqrt(n)，于是就简单了直接求sum+n/i (ii<n && i >=1)，然后乘以2，再减去ii即可。
当n==10时，m=sqrt(10)==13，f(10)==（10+5+3）2-33=27；
关于m对称，左右相差mm，左边10+5+3=18，右边2+2+1+1+1+1+1=9，和左边相差33=9，
故，这道题我们就可以简化了；
公式：
m=sqrt（n）；
f（n）=（n/1+n/2+n/3+......+n/k）2-mm；（n/k<=m）;
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
int main()
{
int t,k=1;
ll n;
scanf("%d",&t);
for(int i=0; i<t; i++)
{
scanf("%lld",&n);
ll res=0;
int m=sqrt(n);
for(int i=1; i<=m; i++)
res+=n/i;
res*=2; ///找规律
res-=m*m;
printf("Case %d: %lld\n",k++,res);
}
return 0;
}
第二种：
假设 tmp 是 n/i 的值，当n == 10的时候（取具体值） 当 tmp = 1 时，个数 是10/1 - 10/2 == 5个
当 tmp = 2 时，个数 是10/2 - 10/3 == 2个
当 tmp = 3 时，个数 是10/3 - 10/4 == 1个 ………… 当 tmp = 10时，个数是10/10 - 10/11 == 1个 所以我们发现有个规律了，当tmp == i 的时候，我们要求的个数就是 10/i - 10/(i+1)，然后我们前1 — sqrt(n)个数的数值还是比较大的，但是数据范围变小了 暴力可以求出来，剩下的 sqrt(n)+1 — n个数中 数据范围还是比较大，但是 n/i 的数据范围介于 1 - sqrt(n)之间，所以用我们找出的规律可以求出来，我们只需要 两个for循环就搞定了，时间复杂度 O(sqrt(n)),
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll h(ll n)
{
ll res=0;
int m=sqrt(n);
for(int i=1;i<=m;i++)
res+=n/i;
for(int i=1;i<=m;i++)
res+=(n/i-n/(i+1))*i;
if(m==n/m)
res-=m;
return res;
}
int main()
{
int t,k=1;
ll n;
scanf("%d",&t);
for(int i=1;i<=t;i++)
{
scanf("%lld",&n);
printf("Case %d: %lld\n",k++,h(n));
}
return 0;
}
