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正文

9 信号处理

9.3 卷积滤波器

现在我们有了卷积机制，让我们来看看图形中常用的一些特殊过滤器。

以下每个过滤器都有一个自然半径，这是当样本间隔一个单位时用于采样或重建的默认大小。 在本节中，过滤器被定义为这个自然大小：例如，盒子过滤器的自然半径为 1/2 ，立方过滤器的自然半径为 2。我们还安排每个过滤器积分到 1：，在不改变信号平均值的情况下进行采样和重构。

正如我们将在第 9.4.3 节中看到的，一些应用程序需要不同大小的过滤器，这可以通过缩放基本过滤器来获得。对于过滤器 f(x)，我们可以定义一个版本的 scale s：

过滤器水平拉伸 s 倍，然后垂直挤压 1/s 倍，使其面积不变。一个自然半径为 r 并在尺度 s 上使用的过滤器的支撑半径为 sr（参见下面的图 9.20）。

9.3.1 卷积滤波器库

箱形滤波器（图 9.19） 是一个分段常数函数，其积分等于 1。作为离散滤波器，它可以写成

请注意，为了对称，我们包括两个端点。作为一个连续过滤器，我们写

在这种情况下，我们排除了一个端点，这使得半径为 0.5 的框可用作重建滤波器。正是因为盒子过滤器是不连续的，所以这些边界情况很重要，因此对于这个特定的过滤器，我们需要注意它们。我们只写 fbox 来表示 r = 1/2 的自然半径。

帐篷过滤器

tent 或线性滤波器（图 9.20）是一个连续的分段线性函数：

它的自然半径是 1。对于像这个这样的过滤器，它至少是 C0（也就是说，值没有突然的跳跃，就像盒子一样），我们不再需要分开定义离散和连续滤波器：离散滤波器只是以整数采样的连续滤波器。

高斯滤波器

高斯函数（图 9.21）也称为正态分布，在理论上和实践上都是一个重要的滤波器。随着本章的进行，我们将看到更多它的特殊属性：

参数 σ 称为标准差。 Gaussian 是一个很好的采样滤波器，因为它非常平滑；我们将在本章后面更准确地说明这一说法。 高斯滤波器没有任何特定的自然半径；它是 σ 范围内有用的采样滤波器。高斯也没有有限的支持半径，尽管由于指数衰减，它的值迅速变得小到可以忽略。然后，在必要时，我们可以通过在某个半径 r 之外将其设置为零来修剪函数的尾部，从而得到修剪后的高斯。这意味着滤波器的宽度和自然半径可以根据应用而有所不同，并且按 s 缩放的修剪高斯与具有标准偏差 sσ 和半径 sr 的未缩放修剪高斯相同。在实践中处理此问题的最佳方法是将 σ 和 r 设置为过滤器的属性，在指定过滤器时固定，然后在应用时像其他任何过滤器一样缩放过滤器。

B样条三次滤波器

许多滤波器被定义为分段多项式，四片（自然半径为 2）的三次滤波器通常用作重建滤波器。一种这样的滤波器被称为 B 样条滤波器（图 9.22），因为它起源于样条曲线的混合函数（参见第 15 章）：

在分段三次中，B 样条是特殊的，因为它具有连续的一阶和二阶导数——即 C2。定义这个过滤器的更简洁的方法是 证明上面的较长形式是等价的是卷积的一个很好的练习（参见练习 3）。

Catmull-Rom 三次过滤器

另一个以样条曲线命名的分段三次滤波器，Catmull-Rom 滤波器（图 9.23） ，在 x = -2、-1、1 和 2 处的值为零，这意味着当用作重建滤波器时，它将对样本进行插值（第 9.3.2 节）：

Mitchell-Netravali 三次滤波器

对于重采样图像的最重要应用，Mitchell 和 Netravali (Mitchell & Netravali, 1988) 对三次过滤器进行了研究，并推荐前两种过滤器之间的中间过滤器作为最佳综合选择（图 9.24）。它只是前两个过滤器的加权组合：

9.3.2 过滤器的属性

过滤器有一些与之配套的传统术语，我们用它来描述过滤器并将它们相互比较。 滤波器的脉冲响应只是该函数的另一个名称：它是滤波器对只包含一个脉冲的信号的响应（回想一下，与脉冲卷积只会返回滤波器）。

如果连续滤波器用于从离散序列重构连续函数时，如果得到的函数准确地采用样本点处的样本值，那么它就是插值——也就是说，它“连接点”而不是产生一个仅靠近点的功能。对于所有非零整数 i，插值滤波器正是那些 f(0) = 1 和 f(i)=0 的滤波器 f（图 9.25）。

采用负值的过滤器具有振铃或过冲：它会在被过滤函数值的急剧变化周围产生额外的值振荡。 例如，Catmull-Rom 滤波器的两侧都有负波瓣，如果你用它过滤阶跃函数，它会稍微夸大阶跃，导致函数值低于 0 和高于 1（图 9.26）。

一个连续滤波器是无波纹的，如果在用作重构滤波器时，它将一个常数序列重构为一个常数函数（图 9.27） 。这等效于在任何整数间隔网格上过滤器总和为 1 的要求：

第 9.3.1 节中的所有滤波器在其自然半径处都是无波纹的，除了高斯，但当它们以非整数尺度使用时，它们都不一定是无波纹的。如果需要消除离散连续卷积中的波纹，这样做很容易：将每个计算的样本除以用于计算它的权重之和：

这个表达式仍然可以解释为 a 和过滤器 f 之间的卷积（参见练习 6）。

连续滤波器具有一定程度的连续性，它是随处定义的最高阶导数。一个过滤器，比如盒子过滤器，它的值有突然的跳跃，它根本不是连续的。一个连续但有尖角（一阶导数不连续）的滤波器，例如帐篷滤波器，其连续性阶数为零，我们说它是 C0。一个具有连续导数（没有尖角）的滤波器，例如上一节中的分段三次滤波器，是 C1；如果它的二阶导数也是连续的，就像 B 样条滤波器一样，它是 C2。滤波器的连续性顺序对于重构滤波器尤为重要，因为重构函数继承了滤波器的连续性。

可分离过滤器

到目前为止，我们只讨论了一维卷积的滤波器，但对于图像和其他多维信号，我们也需要滤波器。通常，任何 2D 函数都可以是 2D 过滤器，有时以这种方式定义它们很有用。但是，在大多数情况下，我们可以从我们已经看到的 1D 过滤器构建合适的 2D（或更高维）过滤器。

最有用的方法是使用可分离过滤器。在特定 x 和 y 处的可分离滤波器 f2(x, y) 的值只是在 x 和 y 处评估的 f1（一维滤波器）的乘积：

同样，对于离散滤波器

通过 f2 的任何水平或垂直切片都是 f1 的缩放副本。 f2 的积分是 f1 的积分的平方，因此特别是如果 f1 被归一化，那么 f2 也是如此。

示例（可分离的帐篷过滤器） 。如果我们为 f1 选择 tent 函数，得到的分段双线性函数（图 9.28）为

沿坐标轴的轮廓是帐篷函数，但沿对角线的轮廓是二次函数（例如，沿着正象限中的线 x = y，我们看到二次函数 (1 - x)2）。

示例（二维高斯滤波器）。如果我们为 f1 选择高斯函数，得到的二维函数（图 9.29） 是

请注意，如果我们围绕原点旋转 1D 高斯以产生圆对称函数，这与我们将获得的函数相同（直到比例因子）。同时圆对称和可分的特性是高斯函数所独有的。沿坐标轴的轮廓是高斯的，但沿任何方向的轮廓在距中心的任何偏移处也是如此。

与其他 2D 过滤器相比，可分离过滤器的主要优势在于实施效率。让我们将 a2 的定义代入离散卷积的定义：

请注意，b1[i - i ' ] 不依赖于 j 并且可以从内部和中分解出来：

让我们将内部和缩写为 S[i ' ]：

使用这种形式的方程，我们可以首先计算并存储 i ' 的每个值的 S[i ' ]，然后使用这些存储的值计算外和。乍一看，这似乎并不显着，因为我们仍然必须做与 (2r 1)2 成比例的工作来计算所有内部和。但是，如果我们想计算多个点 [i, j] 的值，情况就完全不同了。

假设我们需要计算 [2, 2] 和 [3, 2] 处的 b2，并且 b1 的半径为 2。

检查公式 9.5，我们可以看到我们需要 S[0],...,S[4] 来计算 [2, 2] 处的结果，我们需要 S[1],...,S[ 5] 计算 [3, 2] 处的结果。

因此，在可分离公式中，我们可以只计算 S 的所有六个值并共享 S[1],...,S[4]（图 9.30）。

这种节省对于大型过滤器具有重要意义。在一般情况下，使用半径为 r 的滤波器对图像进行滤波需要每个像素计算 (2r 1)2 个乘积，而使用相同大小的可分离滤波器对图像进行滤波需要 2(2r 1) 个乘积（以牺牲一些中间存储）。渐近复杂度从 O(r2) 到 O(r) 的这种变化使得可以使用更大的滤波器。

算法是：

该算法是： 为简单起见，此函数通过从输出图像的所有四个侧面修剪 r 个像素来避免所有边界问题。在实践中，有多种方法可以处理边界；见第 9.4.3 节。