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求逆序对

题目描述

我们说（i，j）是a1，a2，…，aN的一个逆序对当且仅当i<j且ai>a j。例如2，4，1，3，5的逆序对有3个，分别为（1，3），（2，3），（2，4）。现在已知N和K，求1…N的所有特定排列，这些排列的逆序对的数量恰好为K。输出这些特定排列的数量。

例如N=5，K=3的时候，满足条件的排列有15个，它们是：

1，2，5，4，3    
1，3，4，5，2   
1，3，5，2，4   
1，4，2，5，3   
1，4，3，2，5   
1，5，2，3，4   
2，1，4，5，3   
2，1，5，3，4   
2，3，1，5，4   
2，3，4，1，5
2，4，1，3，5    
3，1，2，5，4   
3，1，4，2，5   
3，2，1，4，5   
4，1，2，3，5

输入格式

输入第一行有两个整数N和K。（N≤100，K≤N*(N-1)/2）

输出格式

将1…N的逆序对数量为K的特定排列的数量输出。为了避免高精度计算，请将结果mod 10000以后再输出！

样例 #1

样例输入 #1

5 3

样例输出 #1

解题思路

dp 方程很容易得出：f[i][j]=f[i-1][j-i+1]+f[i-1][j-i+2]+……+f[i-1][j]

时间复杂度：O(n^3)

但可以优化为O(n^2)

因为f[i][j]=f[i-1][j-i+1]+f[i-1][j-i+2]+……+f[i-1][j]

f[i][j-1]=f[i-1][j-i]+f[i-1][j-i+1]+f[i-][j-i+2]+……+f[i-1][j-1]

这两个式子有许多重复项

所以可以合并为f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j]-f[i-1][j-i]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,dp[105],f[105][5000];
int main(){
    cin>>n>>k;
	f[0][0]=f[1][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-1]+i-1;
        for(int j=0;j<=dp[i];j++){
            f[i-1][j]%=10000;
            if(j<=dp[i]/2){
                f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];
                if(j>=i)f[i][j]-=f[i-1][j-i];
            }
            else f[i][j]=f[i][dp[i]-j];
        }
    }
    cout<<f[n][k]%10000;
    return 0;
}

【动态规划】P1521 求逆序对