前端算法第一九二弹-数位成本和为目标值的最大数字

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给你一个整数数组 cost 和一个整数 target 。请你返回满足如下规则可以得到的 最大 整数：

• 给当前结果添加一个数位（i + 1）的成本为 cost[i] （cost 数组下标从 0 开始）。
• 总成本必须恰好等于 target 。
• 添加的数位中没有数字 0 。

由于答案可能会很大，请你以字符串形式返回。

如果按照上述要求无法得到任何整数，请你返回 "0" 。

示例 1：

输入：cost = [4,3,2,5,6,7,2,5,5], target = 9
输出："7772"
解释：添加数位 '7' 的成本为 2 ，添加数位 '2' 的成本为 3 。所以 "7772" 的代价为 2*3+ 3*1 = 9 。 "977" 也是满足要求的数字，但 "7772" 是较大的数字。
 数字     成本
  1  ->   4
  2  ->   3
  3  ->   2
  4  ->   5
  5  ->   6
  6  ->   7
  7  ->   2
  8  ->   5
  9  ->   5

示例 2：

输入：cost = [7,6,5,5,5,6,8,7,8], target = 12
输出："85"
解释：添加数位 '8' 的成本是 7 ，添加数位 '5' 的成本是 5 。"85" 的成本为 7 + 5 = 12 。

示例 3：

输入：cost = [2,4,6,2,4,6,4,4,4], target = 5
输出："0"
解释：总成本是 target 的条件下，无法生成任何整数。

示例 4：

输入：cost = [6,10,15,40,40,40,40,40,40], target = 47
输出："32211"

动态规划

若两个整数位数不同，位数更多的整数必然大于位数小的整数。因此我们需要先计算出可以得到的整数的最大位数。

该问题可以看作是恰好装满背包容量为 $\textit{target}$，物品重量为 $\textit{cost}[i]$，价值为 $1$ 的完全背包问题。

对于该问题，定义二维数组 $\textit{dp}$，其中 $\textit{dp}[i+1][j]$ 表示使用前 $i$ 个数位且花费总成本恰好为 $j$ 时的最大位数，若花费总成本无法为 $j$，则规定其为 $-\infty$。特别地，$\textit{dp}[0][]$ 为不选任何数位的状态，因此除了 $\textit{dp}[0][0]$ 为 $0$，其余$\textit{dp}[0][j]$ 全为 $-\infty$。

$dp[9][target]$ 即为可以得到的整数的最大位数，若其小于 $0$ 则说明我们无法得到满足要求的整数，返回 $\texttt{"0"}$。否则，我们需要生成一个整数，其位数为 $\textit{dp}[9][target]$ 且数值最大。

为了生成该整数，我们可以用一个额外的二维数组 $\textit{from}$，在状态转移时记录转移来源。这样我们可以从最终状态 $\textit{dp}[9][target]$ 顺着 $\textit{from}$ 不断倒退，直至达到起始状态 $\textit{dp}[0][0]$。在倒退状态时，若转移来源是 $\textit{dp}[i+1][j-\textit{cost}[i]]$ 则说明我们选取了第 $i$ 个数位。

注意我们并没有记录转移来源是 $i$ 还是 $i+1$，这是因为若 $\textit{from}[i+1][j]$ 的值为 $j$，则必定从 $i$ 转移过来，否则必定从 $i+1$ 转移过来。

此外，由于我们是从最大的数位向最小的数位倒退，为使生成的整数尽可能地大，对于当前数位应尽可能多地选取，所以当 $\textit{dp}[i][j]$ 与 $\textit{dp}[i+1][j-\textit{cost}[i]]+1$ 相等时，我们选择从后者转移过来。

这样我们就得到了每个数位的选择次数，为使生成的整数尽可能地大，我们应按照从大到小的顺序填入各个数位。由于该顺序与倒退状态的顺序一致，我们可以在倒退状态时，将当前数位直接加入生成的整数末尾。

代码实现时，$-\infty$ 可以用一个非常小的负数表示，保证转移时对于值为 $-\infty$ 的状态，其 $+1$ 之后仍然为负数。

var largestNumber = function(cost, target) {
    const dp = new Array(10).fill(0).map(() => new Array(target + 1).fill(-Number.MAX_VALUE));
    const from = new Array(10).fill(0).map(() => new Array(target + 1).fill(0));
    dp[0][0] = 0;
    for (let i = 0; i < 9; ++i) {
        const c = cost[i];
        for (let j = 0; j <= target; ++j) {
            if (j < c) {
                dp[i + 1][j] = dp[i][j];
                from[i + 1][j] = j;
            } else {
                if (dp[i][j] > dp[i + 1][j - c] + 1) {
                    dp[i + 1][j] = dp[i][j];
                    from[i + 1][j] = j;
                } else {
                    dp[i + 1][j] = dp[i + 1][j - c] + 1;
                    from[i + 1][j] = j - c;
                }
            }
        }
    }
    if (dp[9][target] < 0) {
        return "0";
    }
    const sb = [];
    let i = 9, j = target;
    while (i > 0) {
        if (j === from[i][j]) {
            --i;
        } else {
            sb.push(i);
            j = from[i][j];
        }
    }
    return sb.join('');
};