基础知识
数组： 基本数据结构，它占据一块连续的内存并按照顺序存储数据。 创建数组，首先要指定数组容量大小，然后根据大小分配内存。
即使只在数组中存储一个数字，也需要为所有的数据预先分配内存，因此数字的空间效率不是很好，有空闲的区域没有充分利用。
运用： 由于数组的内存是连续的，可以根据下标在 O(1)时间读/写任何元素，时间效率很高，根据这个特性，可以使用数组实现简单的哈希表，数组下标作为哈希表的键值(key)，数组中的每个数字设为哈希表的值（Value）。
为解决数字空间效率不高的问题 方案：动态数组。为避免浪费，先为数组开辟较小的空间，然后往数组中添加数据，当数据超过数组的容量时，再重新分配一块更大的空间（一般为前一次的2倍），为数组扩容。
存在问题：扩容时，要把旧数据复制到新数组中，再把之前的内存释放，会产生大量额外操作，这个对时间性能有影响，因此使用动态数组时，尽量减少改变数组容量大小的次数，合理规划扩容的大小。
题目一：找出数组中重复的数字。
在一个长度为n的数组里的所有数字都在 0~n-1 的范围内。数组中某些数字是重复的，但不知道有几个数字重复了，也不知道每个数字重复了几次。请找出数组中任意一个重复的数宇。例如，如果输入长度为7的数组{2,3,1,0,2,5,3}，那么对应的输出是重复的数字2或者3。
思考 1、先把数组排序，再从排序的数组中找到重复的数字，只需要从头到尾扫描排序后的数组即可，排序一个长度为n的数组需要 O(nlogn) 的时间。 2、利用哈希表。 从头到尾按顺序扫描数组的每个数字，每扫描到一个数字的时候，都可以用 0(1)的时间来判断哈希表里是否己经包含了该数字。如果哈希表里还没有这个数字，就把它加入哈希表。如果哈希表里己经存在该数字，就找到一个重复的数字。 这个算法的时间复杂度是O(n)，但它提高时间效率是以一个大小为 O(n) 哈希表为代价的。 我们再看看有没有空间复杂度是 O(1) 的算法。
我们注意到数组中的数字都在 0~n-1 的范围内。如果这个数组中没有重复的数字，那么当数组排序之后数字i将出现在下标为i的位置。由于数组中有重复的数字，有些位置可能存在多个数字，同时有些位置可能没有数字。
现在让我们重排这个数组。从头到尾依次扫描这个数组中的每个数字。
当扫描到下标为 i 的数字时，首先比较这个数字（用m 表示）是不是等于i。 如果是，则接着扫描下一个数宇；如果不是，则再拿它和第 m 个数字进行比较。如果它和第 m 个数字相等，就找到了一个重复的数字(该数字在下标为i和m的位置都出现了）；如果它和第m 个数字不相等，就把第i个数字和第 m 个数字交换，把m放到属于它的位置。接下来再重复这个比较、交换的过程，直到我们发现一个重复的数字。
以数组{2,3,1,0,2,5,3};为例来分析找到重复数字的步骤。 数组的第0个数字（从0开始计数，和数组的下标保持一致）是2，与它的下标不相等，于是把它和下标为 2 的数字 1 交换。交换之后的数组是{1,3,2,0,2,5,3}。此时第0个数字是1，仍然与它的下标不相等，继续把它和下标为 1 的数宇3交换，得到数组{3,1，2,0,2，5，3}。
接下来继续交换第0个数宇了和第3个数宇0，得到数组{0,1，2,3，2，5，3}。此时第0个数字的数值为 0，接着扫描下一个数字。在接下来的几个数字中，下标为 1、2、3的3个数字分别为1、2、3，它们的下标和数值都分别相等，因此不需要执行任何操作。
接下来扫描到下标为4 的数字2。由于它的数值与它的下标不相等，再比较它和下标为2的数字。注意到此时数组中下标为2的数字也是2，也就是数字2在下标为2和下标为 4 的两个位置都出现了，因此找到一个重复的数字。
题目二：不修改数组找出重复的数字
在一个长度为 n+1 的数组里的所有数字都在 1～n 的范围内，所以数组中至少有一个数字是重复的。请找出数组中任意一个重复的数字，但不能修改输入的数组。例如，如果输入长度为8的数组 {2,3,5,4,3,2,6,7}，那么对应是重复的数字2或者3
方法1:
可以创建一个长度为 n+1 的辅助数组，把原数组的每个元素复制到辅助数组，比如原数组的是m，那么复制到辅助数组下标为m的地方，这样就很容易发现重复的数字。 需要 O(n) 的辅助空间。
缺点：费空间
方法2
尝试避免使用 O(n) 的辅助空间。假设数组中没有重复的数字，那么在 1～n 的范围内，只有 n 个数字，由于包含超过 n 个数字，所以一定包含了重复的数字，看起来在某个范围里数字的个数对解决这个问题很重要。
按照二分查找的思路：
把从 1～n 的数字从中间的数字 m 分为两部分，前面一半为 1～m ，后面一半为 m+1～n，如果 1～m 的数字的数目超过 m ，那么这一半的区间里一定包含重复的数字。 否则，另一半 m+1～n 的区间里一定包含重复的数字。
我们可以继续把包含重复数字的区间一分为二，直到找到一个重复的数字。
具体操作： 以长度为8的数组 {2.3.5,4.3,2,6.7} 为例分析查找的过程。 根据题目要求，这个长度为 8 的所有数字都在 1～7 的范围内。中间的数字 4 把 1～7 的范围分为两段，一段是 1～4，另一段是 5～7。接下来我们统计 1～4 这 4 个数字（1，2，3，4）在数组中出现的次数，它们一共出现了5次，因此这 4 个数宇中一定有重复的数字。
接下来我们再把 1～4 的范围一分为二，一段是1、2两个数字，另段是3、4 两个数宇。数字1 或者2在数组中一共出现了两次。我们再统计数字3 或者 4 在数组中出现的次数，它们一共出现了三次。这意味着 3、4 两个数字中一定有一个重复了。我们再分别统计这两个数字在数组中出现的次数。接着我们发现数字3出现了两次，是一个重复的数字。
时间复杂度 O(nlogn)
空间复杂度 O(1)
