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题目
题目链接：51. N 皇后
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例 1：
输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
示例 2：
输入：n = 1
输出：[["Q"]]
提示：
- 1 <= n <= 9
解题思路
N 皇后算是一道很经典的递归回溯的题了。
👉递归
这题只需要遍历所有情况即可，但需要对每行每列和每个对角进行标记。其实思路不是太难想到，就是具体实现的代码有点难实现。思路就是遍历这个二维数组，尝试每个空位放入 Q ，看看是否满足题意。递归的深度和宽度都就是这个二维数组的横纵数，深度就是上图的纵坐标，宽度就是上图的横坐标，即 n 。具体做法：
-
递归函数的参数
n，需要用皇后数作为返回条件和遍历范围，因为递归的深度和宽度都是nm，作为遍历的深度
-
递归函数的返回条件
当递归到
n时就可以返回，同时把满足的情况放入二维数组中 -
递归函数的功能
由于递归的深度是“皇后数组”的纵坐标（从上向下看），所以递归函数里面需要遍历数组的横坐标，判断当前位置是否满足条件（横纵和两条对角线都没有皇后），满足就将其放入皇后（
Q）做好标记，进入下一层（因为如果一层放入了一个皇后，那么这一层就不会再放了）。递归结束后要恢复原状。
这里有一个难点，就是标记横纵和两条对角线有无皇后。如果使用二维数组标记，那么每次放入一个皇后前都需要循环遍历横纵和两条对角线，放入后还需要重复遍历。对于横纵两条线可以用一个一维数组处理，因为如果当前位置放入皇后，那么就会进入下一层，所以横着的线可以不用标记，那么纵着的线可以用当前的纵坐标标记。对于对角线如何标记是一个难点（数学厉害的另说:stuck_out_tongue:），如下图
根据同一直线的截距相同，只要把皇后所在的那条线的截距作为下标进行标记即可。所以两条对角线可以分别用一个一维数组标记。这样这题就解决了
代码（C++）
递归
class Solution {
public:
vector<vector<string>> str;
vector<string> ss;
bool h[20], s[20], l[20];
void dfs(int n, int m) {
if (n == m) {
str.push_back(ss);
return ;
}
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
if (!h[i] && !s[i - m + n] && !l[m + i]) { //这里需要加n，因为i可能小于m
ss[m][i] = 'Q';
h[i] = s[i - m + n] = l[m + i] = true;
dfs(n, m + 1);
h[i] = s[i - m + n] = l[m + i] = false;
ss[m][i] = '.';
}
}
}
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
string a;
for (int j = 0; j < n; ++ j) {
a += '.';
}
ss.push_back(a);
}
dfs(n, 0);
return str;
}
};
总结
这题的思路不难想到，只是一些细节和几个难点加在一起就让整体的代码难以实现。这题我的写法是看 y 总的，不是官方的题解，当看到 y 总对于对角线的处理时，真的就一个字：绝！。如果不用这个方法，而用二维数组，真的会慢很多，这么简单的数学方法就提高了一个算法的效率，很让人佩服。所以学好数学很重要，数学对于算法也很重要。
