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[SDOI2016]排列计数

题目描述

求有多少种 $1$ 到 $n$ 的排列 $a$ ，满足序列恰好有 $m$ 个位置 $i$ ，使得 $a_i = i$ 。

答案对 $10^9 + 7$ 取模。

输入格式

本题单测试点内有多组数据。

输入的第一行是一个整数 $T$ ，代表测试数据的整数。

以下 $T$ 行，每行描述一组测试数据。

对于每组测试数据，每行输入两个整数，依次代表 $n$ 和 $m$ 。

输出格式

共输出 $T$ 行，对于每组测试数据，输出一行一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

数据规模与约定

本题共 20 个测试点，各测试点等分，其数据规模如下表。

测试点编号	$T =$	$n, m \leq$	测试点编号	$T =$	$n, m \leq$
$1\sim 3$	$10^3$	$8$	$10 \sim 12$	$10^3$	$10^3$
$4 \sim 6$	$10^3$	$12$	$13 \sim 14$	$5 \times 10^5$	$10^3$
$7 \sim 9$	$10^3$	$100$	$15 \sim 20$	$5 \times 10^5$	$10^6$

对于全部的测试点，保证 $1 \leq T \leq 5 \times 10^5$ ， $1 \leq n \leq 10^6$ ， $0 \leq m \leq 10^6$ 。

解题思路

组合数的求法，用阶乘+逆元预处理求组合数，先预处理出数据范围内的阶乘，最后 $O(1)$ 回答。
对于错排列的求法，有这么一个递推公式 $D[i]=(i-1)*(D[i-1]+D[i-2])$

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll f[1000000+50],inv[1000000+50],d[1000000+50];
ll T;
ll n,m;

ll q_pow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*a%mod;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans%mod;
}

inline void init(){
    f[0]=f[1]=d[0]=d[2]=inv[0]=inv[1]=1;f[2]=2;inv[2]=q_pow(f[2],mod-2);
}

inline void prework(){
    for(ll i=3;i<=1000000;++i){
        f[i]=f[i-1]*i%mod;
        inv[i]=q_pow(f[i],mod-2);
        d[i]=(i-1)*(d[i-1]+d[i-2])%mod;
    }
}

inline ll ask(ll n,ll m){
    return (f[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod)%mod;
}

inline ll read(){
    ll ans;
    char c;
    while(c=getchar(),c<'0'||c>'9'){
        
    }
    ans=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9'){
        ans=ans*10+c-'0';
    }
    return ans;
}

int main(){
    init();
    prework();
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        n=read();m=read();
        printf("%lld\n",ask(n,m)*d[n-m]%mod);
    }
    
    return 0;
}

【组合数学】 P4071 排列计数