【LeetCode】222. 完全二叉树的节点个数

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题目

给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2^h 个节点。

示例 1

输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6

示例 2

输入：root = []
输出：0

示例 3

输入：root = [1]
输出：1

提示

• 树中节点的数目范围是[0, 5 * 10^4]
• 0 <= Node.val <= 5 * 10^4
• 题目数据保证输入的树是 完全二叉树

题解

思路

本题可以把输入当成普通二叉树，直接遍历所有节点统计个数也可以，但是为了结合题目中给定的完全二叉树的条件可采用如下思路：

首先明确几个概念：

• 完全二叉树：它是一棵空树或者它的叶子节点只出在最后两层，若最后一层不满则叶子节点只在最左侧。
• 满二叉树：对于一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，那么称之为满二叉树。
• 完全二叉树的节点数（没有公式） = 左子树节点数 + 右子树节点数
• 满二叉树的节点个数（有公式） = 2^树的高度 - 1

明确概念，问题就变得简单了

设 root 的左右子树高度分别为 l_height 和 r_height ，有两种情况：

• 若 l_height == r_height 说明此时root树的叶节点已经填充到了右子树（若填充满了，则右子树和整棵树都是满二叉树），所以其左子树必是满二叉树，所以树的节点数 = $2^{l\_height} - 1$ + 根 + 右子树节点数（因为右子树不一定满，需要继续递归），即 $2^{l\_height}2$ + countNodes(右子树)，使用位运算加快幂运算效率后可得(1 << l_height) + countNodes(right)。
• 若 l_height ！= r_height 说明此时root树的叶节点还未填充到右子树，而且左子树还不知道有没有填满最后一层。但是需要注意，此时root树的倒数第二层是满的，所以可以发现，右子树反倒成为满二叉树了（尽管是比左子树高度少1），所以树的节点数 = $2^{r\_height} - 1$ + root + 左子树节点数，同理最终为(1 << r_height) + countNodes(left)。

代码

class Solution {
private:
    int getHeight(TreeNode* root) {
        if (! root) return 0;
        int height = 1;
        while (root->left)
        {
            root = root->left;
            height++;
        }
        return height;
    }

public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (! root) return 0;
        int cnt = 0;
        auto left = root->left, right = root->right;
        int l_height = getHeight(left);
        int r_height = getHeight(right);
        if (l_height == r_height)
            return (1 << l_height) + countNodes(right);
        else
            return (1 << r_height) + countNodes(left);
    }
};

结语

业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。