前端算法第一八九弹-三角形最小路径和

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给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

动态规划

我们用 $f[i][j]$ 表示从三角形顶部走到位置 $(i,j)$ 的最小路径和。这里的位置 $(i,j)$ 指的是三角形中第 $i$ 行第 $j$ 列（均从 0 开始编号）的位置。

由于每一步只能移动到下一行「相邻的节点」上，因此要想走到位置 $(i,j)$，上一步就只能在位置 $(i−1,j−1)$ 或者位置 $(i−1,j)$。我们在这两个位置中选择一个路径和较小的来进行转移，状态转移方程为：

$f[i][j]=min(f[i−1][j−1],f[i−1][j])+c[i][j]$

其中 $c[i][j]$ 表示位置 $(i,j)$ 对应的元素值。

注意第 $i$ 行有 $i+1$ 个元素，它们对应的 $j$ 的范围为 $[0,i]$。当 $j=0$ 或 $j=i$ 时，上述状态转移方程中有一些项是没有意义的。例如当 $j=0$ 时，$f[i−1][j−1]$ 没有意义，因此状态转移方程为：

$f[i][0]=f[i−1][0]+c[i][0]$

即当我们在第 $i$ 行的最左侧时，我们只能从第 $i−1$ 行的最左侧移动过来。当 $j=i$ 时，$f[i−1][j]$ 没有意义，因此状态转移方程为：

$f[i][i]=f[i−1][i−1]+c[i][i]$

即当我们在第 $i$ 行的最右侧时，我们只能从第 $i−1$ 行的最右侧移动过来。

最终的答案即为 $f[n−1][0]$ 到 $f[n−1][n−1]$ 中的最小值，其中 $n$ 是三角形的行数。

const minimumTotal = (triangle) => {
    const h = triangle.length;
    const dp = new Array(h);// 初始化状态数组
    for (let i = 0; i < h; i++) {
        dp[i] = new Array(triangle[i].length);
    }

    for (let i = h - 1; i >= 0; i--) { //从三角形底向上上遍历
        for (let j = 0; j < triangle[i].length; j++) { //遍历同层
            if (i == h - 1) {  //基本情况 三角形最下一层的状态
                dp[i][j] = triangle[i][j];
            } else { // 状态转移方程，从下一层相邻位置选取一个较小者 + 自身
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j];
            }
        }
    }
    return dp[0][0];
};

//状态压缩
const minimumTotal = (triangle) => {
    const bottom = triangle[triangle.length - 1];
    const dp = new Array(bottom.length);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {//最后一行
        dp[i] = bottom[i];
    }
    for (let i = dp.length - 2; i >= 0; i--) {// 从倒数第二列开始迭代
        for (let j = 0; j < triangle[i].length; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j];
        }
    }
    return dp[0];
};