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最小生成树

先来看一个问题：

在上述图中，描述了学校、农场等6个地点，并用权值标志了各个地点之间的道路距离，现在假设我需要用最小的边，去连通图中所有的地点，这个最小边连通的树就是它的最小生成树。

生成树的属性

一个连通图可以有多个生成树；
一个连通图的所有生成树都包含相同的顶点个数和边数；
生成树当中不存在环；
移除生成树中的任意一条边都会导致图的不连通，生成树的边最少特性；
在生成树中添加一条边会构成环。
对于包含n个顶点的连通图，生成树包含n个顶点和n-1条边；
对于包含n个顶点的无向完全图最多包含 $n^{n-2}$ 颗生成树。

最小生成树

最小生成树，就是无向图中边的权值最小的生成树。

对于一个带权连通无向图G=(V,E)，生成树不同，每棵树的权（树中所有边上的权值和）也不同，设R为G的所有生成树的集合，若T为R中权值和最小的生成树，则T称为G的最小生成树（Minimum-Spanning-Tree，MST）

注：

1、最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的
2、最小生成树的边数=定点数-1，砍掉一条则不连通，增加一条则会出现回路
3、若一个连通图本身就是一颗树，则其最小生成树就是它本身
4、只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林

生成最小生成树的算法有两种：Kruskal算法（克鲁斯卡尔）、普里姆算法（Prim）。

Kruskal算法

每次选择 权值最小且不违反最小生成树属性（不构成环） 的边，使这条边的两头连通（原本已近连通则不选）直到所有结点都连通。

思路

1.把所有边进行排序
2.先把最小的边考虑进去，然后再看是否形成环，如果成环了就不要把这个边考虑进去，如果没有，进入下一步
3.再把下一个小的边考虑进去，再判断是否形成环，如果成环了就不要把这个边考虑进去，如果没有，进入下一步
4.直到连通所有

难点

Kruskal算法的难点在于：如何判断添加一条边后是否形成环？

主要是在于实现集合查询与集合合并。首先，每个点都属于一个单独的集合，当把一个边考虑进去的时候，先判断大的集合里有没有包含这个节点，如果里面有这个节点了就表示形成环了，否则就将把这个节点所在的集合合并进去。

代码实现

public class Kruskal {
     // 这样是可以的，但是没有并查集快
    public static class MySets{
        public HashMap<Node, List<Node>> setMap;
        public MySets(List<Node> nodes){
            for(Node cur: nodes){
                List<Node> set = new ArrayList<Node>();
                set.add(cur);
                setMap.put(cur, set);
            }

        }
        public MySets(List<Node> nodes){
            for(Node cur: nodes){
                List<Node> set = new ArrayList<Node>();
                set.add(cur);
                setMap.put(cur, set);
            }

        }
        public MySets(List<Node> nodes){
            for(Node cur: nodes){
                List<Node> set = new ArrayList<Node>();
                set.add(cur);
                setMap.put(cur, set);
            }

        }
    }
    
    // K算法（并查集）
    public static Set<Edge> KruskalMST(Gragh graph){
        UnionFind unionFind = new UnionFind();  // 生成一个并查集结构
        unionFind.makeSets(graph.nodes.values());
        // 利用比较器将边进行排序
        PriorityQueue<Edge> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new EdgeComparator());
        for(Edge edge:graph.edges){  // M条边
            priorityQueue.add(edge);   // O(logM)
        }
        Set<Edge> result = new HashSet<>();
        while(!priorityQueue.isEmpty()){   // M条边
            Edge edge = priorityQueue.poll();    //  O(logM)
            if(!unionFind.isSameSet(edge.form, edge.to)){   // O(1)
                result.add(edge);
                unionFind.union(edge.from, edge.to);
            }
        }
        return result;
    }
}

Prim算法

举个例子

如图所示，如果我们要对它进行Prim算法操作，那么数据演示如下：

1. 假设从A点出发（Prim算法对出发的点没有要求，随意选一个出发点即可），此时就释放了三条边：A-B、A-C、A-D，从中选取权值最小的边A-C，那么A、C两点被选中
1. C点被选中，那么C-B、C-D、C-E、C-F四个边也被释放，从中选取权值最小的边C-F（A点已经被选中了，所以不能选C-A这个边了），此时A、C、F三点被选中
1. F点被选中，那么F-D、F-E两个边也被释放，从中选取权值最小的边F-D，此时A、C、F、D四点被选中
1. D点被选中，没有新的边需要被释放，此时在全局范围内（指被释放的但未曾被选中权值最小的边）挑权值最小的边，也就是A-B(6)、A-D(5)、C-B(5)、C-D(5)、C-E(6)、F-E(6)中挑选，其中A-D(5)、C-D(5)涉及的点都曾被选中了，因此只能选C-B(5)这个边，此时A、C、F、D、B五点被选中
1. B点被选中，B-E边被释放，此时A、C、F、D、B、E已经全部被选中，最小生成树已经形成，A-C、C-F、F-D、C-B、B-E所形成的就是最小生成树

代码实现

public static class EdgeComparator implements Comparator<Edge>{
    public int compare(Edge o1, Edge o2){
        return o1.weight - o2.weight
    }
}
public static Set<Edge> primMST(Graph graph){
    // 解锁的边进入小根堆
    PriorityQueue<Edge> PriorityQueue = new PriorityQueue<>(new EdgeComparator());
    HashSet<Node> set = new HashSet<>();
    
    Set<Edge> result = new HashSet<>();  // 依次挑选的边在result里
    
    for(Node node: graph.nodes.values()){  // 随便挑了一个点
        // node 是开始点
        if(!set.contains(node)){
            set.add(node);
            for(Edge edge: node.edges){   // 由一个点，解锁所有相连的边
                priorityQueue.add(edge);
            }
            while(!priorityQueue.isEmpty()){
                Edge edge = priorityQueue.poll(); // 弹出解锁的边中，最小的边
                Node toNode = edge.to;     // 可能的一个新的点
                if(!set.contains(toNode)){     // 不含有的时候，就是新的点
                    set.add(toNode);
                    result.add(edge);
                    for(Edge nextEdge: toNode.edges){
                        priorityQueue.add(nextEdge);
                    }
                }
            }
        }
    }
    return result;

}

无向图的算法：Kruskal算法与Prim算法生成最小生成树

最小生成树

生成树的属性

最小生成树

Kruskal算法

思路

难点

代码实现

Prim算法

举个例子

代码实现

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