单表代替密码

置换密码：将明文中的字母重新排列，字母本身不变，但其位置发生改变。

代替密码：将明文字母替换成其他字母、数字或符号。

代替密码分为单表代替密码、单字母代替密码、多字母代替密码和多表代替密码。

单表代替密码定义

假设所采用语言的字母表含有$q$个字母，即

$Zq={0,1,……,q-1}$

集合上$Zq$上置换的全体记为$SYM(Zq)$,则$SYM(Zq)$是$Zq$上的对称群。

定义1 设$k={σ1，σ2，……,σn,……}$是一列置换，$x={x1,x2,……,xn,……}$是一列明文，其中σi是SYM(Zq)中元素。变换$Ek$将$n-$明文组$x={x1,x2,……, xn}$加密成$n-$密文组$y={y1,y2,……,yn,……},$即

$Ek(x)=(σ1(x1),σ2(x2),……,σn(xn))=(y1,y2,……,yn)=y$

称上述加密方式为代替加密。

注：

1.当$σ1=σ2=…σn$时，称$Ek$为单表代替加密；否则，称其为多表代替加密。

2.称$σi$为代替加密密表。

3.由于$SYM(Zq)$的阶等于$q!$，故单表代替密码共有$q!$个(其中含恒等代替加密$EI$)不同的代替加密密表。

单字母单表代替密码——移位代替密码

以下将$q$个字母的字母表与$Z$模$q$中数作一一对应，医用每个字母对应的数字代替该字母。

移位代替密码是最简单的一种代替密码。其加密变换为

$Ek(m)=m+k≡c (mod q) 其中0≤m, c<q$

$K={k|0≤k<q}$

显然，移位代替密码的密钥空间中的元素个数为$q$,其中$k=0$是恒等变换。

凯撒密码的一般形式

1.将英文字母表移$k(0≤k<26)$位得到替换表，则得一般得$Caesar$算法。

2.共有26种可能的密码算法(25种可用)

3.将每个字母分配一个数值，如$a=0,b=1$等,则算法可表示为：

(a)加密算法：$c=E(p)=(p+k)mod(26)$

(b)解密算法：$p=D(c)=(c-k)mod(26)$

单字母单表代替密码——乘法代替密码

乘法代替密码的加密变换为：

$Ek(m)=mk≡c(mod q),其中0≤c<q$

这种密码又叫采样密码，因为其密文字母表是将明文字母表按下标每隔k位取出一个字母排列而成（字母表首尾相连）

注：

1.当$gcd(k,d)=1$.即k与互素时明文字母与密文字母一一对应。

2.若$q$为素数，则有$q-2$个可用密钥；否则只有$φ(q)-1$个可用密钥。其中$φ(q)$是$q$的欧拉函数，等于小于$q$且与$q$互素的正整数的个数。 对于$q=26$,与$q$互素且小于$q$的正整数个数为$φ(26)=12$,除去$k=1$的恒等变换，还有$11$种选择，即$k=3、5、7、9、11、19、21、23$和$25$。

单字母单表代替密码——仿射代替密码

将移位代替密码和乘法代替密码结合起来就构成仿射代替密码。其加密变换为$Ek(m)=mk1+k0≡c, k0,k1∈Zq$ 其中gcd(k1,q)=1,以[k1,k0]表示仿射代替密码的密钥。

注：

1.当$k0=0$时，就得到乘法代替密码；当$k1=1$时，就得到移位代替密码。

2.$q=26$时，可用的密钥数为26×12-1=311个。

因为$gcd(k1,q)=1$,所以存在$k1∈Zq$,故仿射代替密码的解密变换为

$Dk(c)≡(c-k0)×1/k1(mod q)$

单字母单表代替密码——密钥短语密码

可以通过下述方法对加法代替密码进行改造，得到一种密钥可以灵活变化的密码。具体步骤如下：

1.选一个英文短语，称其为密钥字或密钥短语；

2.按顺序去掉重复的字母；

3.将它依次写在明文字母表之下；

4.将明文字母表中未在短语中出现过的字母依次写在此短语之后，构造出一个代替表。

多字母单表代替密码——Playfair密码

Playfair算法基于一个由密钥词构成的5×5字母矩阵。(两个两个字母加密)

以monarchy为例，填充矩阵方法如下：

1.将密钥词(去掉重复字母)从左向右，从上到下填在矩阵格子中；

2.将剩余的字母按字母表的顺序从左到右、从上到下填在矩阵剩下的格子里；

3.字母I和J暂且当作一个字母。

Playfair密码的加解密步骤：

加密：

1.明文分组(填充)：2个字母1组

2.同行字母对加密：循环向右，ei→FK

3.同列字母对加密：循环向下，cu→EM,xi→AS

4.其它字母对加密：矩形对角线字母，且按行排序，hs→BP,es→IL(或JL)

解密：加密的逆向操作

多字母单表代替密码——希尔(Hill)密码

将m个连续的明文字母替换为m个密文字母，由m个线性方程决定，在方程中每个字母被指定为一个数(a=0,b=1,……,z=25) (三个三个字母加密)

Hill密码的加解密过程：

加密：

明文分组并编码 C≡KP mod 26, 其中，K为密钥矩阵，P、C分别为明、密文分组。

解密：

密文分组并编码 P≡1/K×C mod 26, 对密钥矩阵K的要求：在mod 26下可逆。