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题目(Factorial Trailing Zeroes)
链接：https://leetcode-cn.com/problems/factorial-trailing-zeroes
解决数：969
通过率：48.6%
标签：数学
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给定一个整数 n ，返回 n! 结果中尾随零的数量。
提示 n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1
示例 1：
输入： n = 3
输出： 0
解释： 3! = 6 ，不含尾随 0
示例 2：
输入： n = 5
输出： 1
解释： 5! = 120 ，有一个尾随 0
示例 3：
输入： n = 0
输出： 0
提示：
0 <= n <= 104
进阶： 你可以设计并实现对数时间复杂度的算法来解决此问题吗？
思路
本题如果算出阶乘值再数末尾几个 0 的话，测试用例中的数据在运算阶乘值时很容易超过 Number.MAX_SAFE_INTEGER 。所以本题需要找规律优化算法。
首先我们知道末尾有 0 是因为这个数是 10 的倍数(50 是 10 的倍数，500 是 100 的倍数，100 可以分解为 10 * 10)。也就是说在阶乘中有数相乘的乘积是 10，那么每多一个 10 结尾就会多一个 0。
另外可以发现在 9! 中唯一能产生 10 的乘积的就是 2 * 5 。而在 9! 中许多数都有 2 这个因子，也就是说在一段阶乘区间内，10 的乘积个数取决于能分解出 5 的个数。比如 15! 中数字 5、10、15 这 3 个数都都可以分解成 n * 5 ，也就是说对于每一个数都能找到一个 2 与之相乘，并且乘积结果为 n * 5 * 2 。因此 15! 阶乘末尾 0 的个数为 3 个。
需要注意的是某些数可以产生多个 5 ，比如 25 有 2 个 5 ，50 也有 2 个 5 。下面我们通过表格来观察一下规律。
| 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|
| 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 55 | 60 | 65 | 70 | 75 |
| 80 | 85 | 90 | 95 | 100 |
| 105 | 110 | 115 | 120 | 125 |
| 130 | 135 | 140 | 145 | 150 |
可以观察到对于前 4 列来说，都只能分解出 1 个 5，但是第 5 列却能分解出多个 5。
| 25 | 5 * 5 * 1 |
|---|---|
| 50 | 5 * 5 * 2 |
| 75 | 5 * 5 * 3 |
| 100 | 5 * 5 * 4 |
| 125 | 5 * 5 * 5 |
| 150 | 5 * 5 * 6 |
也就是说 20! 中值为 5 的倍数的个数为 20 / 5 ，但是 25! 中值为 5 的倍数的个数为 25 / 5 再加上 25 多的那个 5。本题规律的关键在于第 5 列，对于 n 的阶乘来说有几个数能列入上面表格中只需要计算 n / 5 再向下取整即可。但是第 5 列是多了 * 个 5 的。可以发现 25、50、75、100、125、150 这些数被计数过 1 次以后，就可以将这个数中的 5 去了。那么结果将变为如下表格
| 25 | 5 * 5 * 1 | 5 * 1 |
|---|---|---|
| 50 | 5 * 5 * 2 | 5 * 2 |
| 75 | 5 * 5 * 3 | 5 * 3 |
| 100 | 5 * 5 * 4 | 5 * 4 |
| 125 | 5 * 5 * 5 | 5 * 5 |
| 150 | 5 * 5 * 6 | 5 * 6 |
可以发现这刚好又变成了最初表格的 5、10、15、20、25、30。我们只要一直计算 n / 5 、n / 5 / 5 、n / 5 / 5 / 5 直到其结果小于 5，并将结果累加即可。
迭代：
const trailingZeroes = n => {
let total = 0;
while (n >= 5) {
n = Math.floor(n / 5);
total += n;
}
return total;
};
递归:
'use strict';
const trailingZeroes = n => {
const helper = (n, total) => {
if (n < 5) {
return total;
}
const count = Math.floor(n / 5);
return helper(count, total + count);
};
return helper(n, 0);
};
impl Solution {
pub fn trailing_zeroes(n: i32) -> i32 {
fn helper(n: i32, total: i32) -> i32 {
if n < 5 {
total
} else {
let count = n / 5;
helper(count, total + count)
}
}
helper(n, 0)
}
}
