复杂度分析

空间复杂度分析

消耗与数量无关

// 循环
int Sum(int a[], int n) {
    int tsum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        tsum += a[i];
    return tsum;
}

消耗与数量有关

// 递归
int Rsum(int a[], int n) {
    if (n > 0)
        return Rsum(a, n - 1) + a[n - 1];
    return 0;
}

执行步数分析

多项式求值

int PolyEval(int c[], int n, int x) {
    int y = 1, value = c[0];
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // n 次循环
        // 每次两个乘法一个加法
        y *= x;
        value += y * c[i];
    }
    return value;
}

Horner 算法

int Horner(int c[], int n, int x) {
    int value = c[n];
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // n 次循环
        // 一次乘法一次加法
        value = value * x + c[n - i];
    }
    return value;
}

一般程序

int Sum(int a[], int n) {
    int tsum = 0, count;
    count++;  // 赋值操作(tsum = 0)

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count++;  // 每次 for 循环判断(i<n)
        tsum += a[i];
        count++;  // 加等操作(tsum += a[i])
    }
    count++;  // 最后一次 for 循环判断
    count++;  // return 操作
    return tsum;
}

递归程序

int Rsum(int a[], int n) {
    int count;
    count++;  // if 语句
    if (n > 0) {
        count++;  // 加法操作
        count++;  // return 操作
        return Rsum(a, n - 1) + a[n - 1];
    }
    count++;  // return 操作
    return 0;
}

t(0)=2 且 t(n)=t(n-1)+3

时间复杂度分析

上界 O

O 不一定是最小上界, 但一般都是求最小上界

$f(n)=O(g(n))$ , 当且仅当存在数 $c$ 和 $n_0$, 使得对所有 $n≥n_0$ , 有 $f(n)≤cg(n)$ , 则称 $g$ 是 $f$ 的上界

例如, $f(n)=3n+3$ , 当 $n≥3$ 时, $3n+3≤3n+n=4n$, 因此 $f(n)=O(4n)$

$f(n)=10n^2+4n+2$ , 当 $n≥2$ 时, $f(n)≤10n^2+5n$ , 当 $n≥5$ 时, $5n≤n^2$ , 因此 $n≥5$ 时, $f(n)≤10n^2+n^2=11n^2$ , 所以 $f(n)=O(n^2)$

松散上界

当 $n≥2$ 时, $f(n)=3n+3<n^2$, 因此 $n^2$ 是 $f(n)$ 的松散上界

下界 Ω

$Ω(g(n))$ , 当且仅当存在数 $c$ 和 $n_0$ , 使得对所有 $n≥n_0$ , 有 $f(n)≥cg(n)$

例如, 对于所有的 $n$ , $f(n)=3n+3>3n$ , 因此 $f(n)=Ω(n)$

$f(n)=10n^2+4n+2>10n^2$ , 因此 $f(n)=Ω(n^2)$

非最大下界

如 $3n+3=Ω(1)$ , $10n^2+4n+2=Ω(n)$

上下界 Θ

$Θ(g(n))$ , 当且仅当存在数 $c_1$ , $c_2$ 和 $n_0$ , 使得对所有 $n≥n_0$ , 有 $c_1g(n)≤f(n)≤c_2g(n)$

例如对于 $n\ge2$ 存在 $3n\le3n+2\le4n$ , 因此 $3n+2=\Theta(n)$

上界非下界 o

例如 $3n+2=O(n^2)$ 但是 $3n+2≠Ω(n^2)$