圆锥曲线的切线方程及其性质

一、椭圆的切线方程

我们先求椭圆的割线方程。设有椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 。取椭圆上两点 ( $x_0$ , $y_0$ )，( $x_1$ , $y_1$ )，则过两点的割线方程可表示为

y - y_0 = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0) = \dfrac{y_1^2 - y_0^2}{(x_1 - x_0)(y_1 + y_0)} (x - x_0)

利用 $y_0^2$ = $b^2$ - $\dfrac{b^2}{a^2}$ $x_0^2$ ， $y_1^2$ = $b^2$ - $\dfrac{b^2}{a^2}$ $x_1^2$ ，我们可以化简得到

y - y_0 = -\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_1 + x_0}{y_1 + y_0} (x - x_0)

令 $y_1$ = $y_0$ ， $x_1$ = $x_0$ ，即可得到椭圆的切线方程

y - y_0 = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0} (x - x_0)

整理得

\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1

经圆锥曲线上一点( $x_0$ , $y_0$ )的切线方程为

\text{椭圆 } \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1

\text{双曲线 } \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x_0 x}{a^2} - \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1

\text{抛物线 } y^2 = 2px \Rightarrow y_0 y = p(x + x_0)

不难发现，对于圆锥曲线的切线方程，有以下代换规则

x_0 x \rightarrow x^2, y_0 y \rightarrow y^2

\dfrac{x_0 + x}{2} \rightarrow x，\dfrac{y_0 y}{2} \rightarrow y

双曲线的切线.png

如图，P ( $x_0$ , $y_0$ ) 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点，与双曲线的渐近线 y = $\pm$ $\dfrac{b}{a}$ x 相交于 M, N 两点，则 P 为 MN 的中点。

证明如下:

过点 P 的切线方程为 $\dfrac{x_0 x}{a^2} - \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$ ，与双曲线的渐近线 y = $\pm$ $\dfrac{b}{a}$ x 相交于

M(\dfrac{a^2 b}{b x_0 - a y_0}, \dfrac{a b^2}{b x_0 - a y_0}), N(\dfrac{a^2 b}{b x_0 + a y_0}, \dfrac{a b^2}{b x_0 + a y_0})

易得 P( $x_0$ , $y_0$ ) 为线段 MN 的中点

圆锥曲线的光学性质
1. 过椭圆上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的两条焦半径的夹角。
2. 过双曲线上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的两条焦半径的夹角的补角。
3. 过抛物线上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的焦半径与过该点且平行于对称轴的直线的夹角。

以下给出性质 1 的证明。

欲证明两角相等，我们可以借助平面向量。

过椭圆上一点 P( $x_0$ ， $y_0$ ) 的切线方程为 $\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$

因此过该点的法线的方向向量 $\vec{n} = (b^2 x_0, a^2 y_0)$

又 $\vec{F_1 P} = (x_0 + c, y)$ , $\vec{F_2 P} = (x_0 - c, y)$ , 且 | $\vec{F_1 P}$ | = a + e $x_0$ , | $\vec{F_2 P}$ | = a - e $x_0$

所以

\cos <\vec{F_1 P}, \vec{n}> = \dfrac{(b^2 x_0^2 + a^2 y_0^2) + b^2 c x_0}{\dfrac{a^2 + c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{(a^2 + c x_0) b^2}{\dfrac{a^2 + c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{a b^2}{|\vec{n}|}

\cos <\vec{F_2 P}, \vec{n}> = \dfrac{(b^2 x_0^2 + a^2 y_0^2) - b^2 c x_0}{\dfrac{a^2 - c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{(a^2 - c x_0) b^2}{\dfrac{a^2 - c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{a b^2}{|\vec{n}|}

故 < $\vec{F_1 P}, \vec{n}$ > = < $\vec{F_2 P}, \vec{n}$ >

该性质揭示了椭圆的光学性质：从椭圆一焦点发出的光线其反射光线经过另一个焦点。

本文参考了邱万作先生的《直说圆锥曲线》（第3章第1节）。