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题目

二维费用的背包问题

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包，背包能承受的最大重量是 $M$ 。

每件物品只能用一次。体积是 $v_{i}$ ，重量是 $m_{i}$ ，价值是 $w_{i}$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数， $N,V,M$ ，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_{i},m_{i},w_{i}$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积、重量和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N≤1000$

$0<V,M≤100$

$0<v_{i},m_{i}≤100$

$0<w_{i}≤1000$

输入样例

输出样例：

解题思路

相比于01背包问题，本题多了一维费用(即背包最大重量)，只需状态也加一维即可。

状态定义

$dp[i][j][k]$ : 表示从前 $i$ 个物品中选择，并且总体积不超过 $j$ ，总重量不超过 $k$ 时可获得的最大价值

状态转移

$dp[i][j][k] = max\left \{dp[i-1][j][k], dp[i][j-v_{i}][k-m_{i}]+w_{i}\right\}$

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String args[]) throws Exception {
        Scanner cin=new Scanner(System.in);
        int N = cin.nextInt();                 // 物品数量
        int V = cin.nextInt();                 // 背包容积
        int M = cin.nextInt();                 // 背包能承受的最大重量
        int[] v = new int[N+1];                  // 物品的体积
        int[] w = new int[N+1];                  // 物品的价值
        int[] m = new int[N+1];                  // 物品的重量
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            v[i] = cin.nextInt();
            m[i] = cin.nextInt();
            w[i] = cin.nextInt();
        }
        
        int[][][] dp = new int[N+1][V+1][M+1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = 1; j <= V; j++) {
                for (int k = 1; k <= M; k++) {
                    if (j < v[i] || k < m[i]) {     // 无法选择当前物品
                        dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
                    } else {
                        dp[i][j][k] = Math.max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N][V][M]); 
    }
}

时间复杂度： $O(N*V*M)$

空间复杂度： $O(N*V*M)$

优化空间复杂度

类似01背包问题，完全背包问题，多重背包问题II优化空间复杂度的方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量 $j$ 和 $k$ 采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环，当物品有如多重背包问题时拆分物品。

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String args[]) throws Exception {
        Scanner cin=new Scanner(System.in);
        int N = cin.nextInt();                 // 物品数量
        int V = cin.nextInt();                 // 背包容积
        int M = cin.nextInt();                 // 背包能承受的最大重量
        int[] v = new int[N+1];                  // 物品的体积
        int[] w = new int[N+1];                  // 物品的价值
        int[] m = new int[N+1];                  // 物品的重量
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            v[i] = cin.nextInt();
            m[i] = cin.nextInt();
            w[i] = cin.nextInt();
        }
        
        int[][] dp = new int[V+1][M+1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
                for (int k = M; k >= m[i]; k--) {
                    dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[V][M]); 
    }
}

时间复杂度： $O(N*V*M)$

空间复杂度： $O(V*M)$

背包问题：二维费用的背包问题

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解题思路

优化空间复杂度

Reference