【戏玩算法】09-二叉树以及各种遍历算法

Hi~，我是一碗周，如果写的文章有幸可以得到你的青睐，万分有幸~

🍎 写在前面

上一篇文章中介绍了树的概念、深度优先遍历和广度优先遍历，这篇文章我们来学习一个特殊的树——二叉树。

🍏 什么是二叉树

二叉树是每个节点最多只能有两个子节点的树，如下图所示：

二叉树.png

一个二叉树具有以下几个特质：

第i层的节点最有只有2^(i-1)个；
如果这颗二叉树的深度为k，那二叉树最多有2^k-1个节点；
在一个非空的二叉树中，若使用n0表示叶子节点的个数，n2是度为2的非叶子节点的个数，那么两者满足关系n0 = n2 + 1。

🍑 满二叉树

如果在一个二叉树中，除了叶子节点，其余的节点的每个度都是2，则说明该二叉树是一个满二叉树，如下图所示：

满二叉树.png

满二叉树除了满足普通二叉树特质，还具有如下几个特质：

满二叉树的的第n层具有2^(n-1)个节点；
深度为k的满二叉树一定存在2^k-1个节点，叶子节点的个数为2^(k-1)；
具有n个节点的满二叉树的深度为log_2^(n+1)。

🍒 完全二叉树

如果一个二叉树去掉最后一次层是满二叉树，且最后一次的节点是依次从左到右分布的，则这个二叉树是一个完全二叉树，如下图所示：

完全二叉树.png

🍓 二叉树的存储

存储二叉树的常见方式分为两种，一种是使用数组存储，另一种使用链表存储。

🫐 数组存储

使用数组存储二叉树，如果遇到完全二叉树，存储顺序从上到下，从左到右，如下图所示：

完全二叉树的数组存储.png

如果是一个非完全二叉树，如下图所示：

非完全二叉树.png

需要先将其转换为完全二叉树，然后在进行存储，如下图所示：

非完全二叉树的数组存储.png

可以很明显的看到存储空间的浪费。

🍈 链表存储

使用链表存储通常将二叉树中的分为3个部分，如下图：

二叉树的链表存储.png

这三个部分依次是左子树的引用，该节点包含的数据，右子树的引用，存储方式如下图所示：

二叉树的链表存储方式.png

🍊 与二叉树相关的算法

以下算法中遍历用到的树如下：

// tree.js
const bt = {
  val: 'A',
  left: {
    val: 'B',
    left: { val: 'D', left: null, right: null },
    right: { val: 'E', left: null, right: null },
  },
  right: {
    val: 'C',
    left: {
      val: 'F',
      left: { val: 'H', left: null, right: null },
      right: { val: 'I', left: null, right: null },
    },
    right: { val: 'G', left: null, right: null },
  },
}
module.exports = bt

🍉 深度优先遍历

二叉树的深度优先遍历与树的深度优先遍历思路一致，思路如下：

访问根节点；
访问根节点的left
访问根节点的right
重复执行第二三步

实现代码如下：

const bt = {
  val: 'A',
  left: {
    val: 'B',
    left: { val: 'D', left: null, right: null },
    right: { val: 'E', left: null, right: null },
  },
  right: {
    val: 'C',
    left: {
      val: 'F',
      left: { val: 'H', left: null, right: null },
      right: { val: 'I', left: null, right: null },
    },
    right: { val: 'G', left: null, right: null },
  },
}

function dfs(root) {
  if (!root) return
  console.log(root.val)
  root.left && dfs(root.left)
  root.right && dfs(root.right) 
}
dfs(bt)
/** 结果
A B D E C F H I G
*/

🍋 广度优先遍历

实现思路如下：

创建队列，把根节点入队
把对头出队并访问
把队头的left和right依次入队
重复执行2、3步，直到队列为空

实现代码如下：

function bfs(root) {
  if (!root) return
  const queue = [root]
  while (queue.length) {
    const node = queue.shift()
    console.log(node.val)
    node.left && queue.push(node.left)
    node.right && queue.push(node.right)
  }
}
bfs(bt)
/** 结果
A B C D E F G H I
 */

🍌 先序遍历

二叉树的先序遍历实现思想如下：

访问根节点;
对当前节点的左子树进行先序遍历；
对当前节点的右子树进行先序遍历；

如下图所示：

先序遍历.png

递归方式实现如下：

const bt = require('./tree')

function preorder(root) {
  if (!root) return
  console.log(root.val)
  preorder(root.left)
  preorder(root.right)
}
preorder(bt)
/** 结果
A B D E C F H I G
*/

迭代方式实现如下：

// 非递归版
function preorder(root) {
  if (!root) return
  // 定义一个栈，用于存储数据
  const stack = [root]
  while (stack.length) {
    const node = stack.pop()
    console.log(node.val)
    /* 由于栈存在先入后出的特性，所以需要先入右子树才能保证先出左子树 */
    node.right && stack.push(node.right)
    node.left && stack.push(node.left)
  }
}
preorder(bt)
/** 结果
A B D E C F H I G
*/

🍍 中序遍历

二叉树的中序遍历实现思想如下：

对当前节点的左子树进行中序遍历；
访问根节点;
对当前节点的右子树进行中序遍历；

如下图所示：

中序遍历.png

递归方式实现如下：

const bt = require('./tree')

// 递归版
function inorder(root) {
  if (!root) return
  inorder(root.left)
  console.log(root.val)
  inorder(root.right)
}
inorder(bt)

/** 结果
D B E A H F I C G
*/

迭代方式实现如下：

// 非递归版
function inorder(root) {
  if (!root) return
  const stack = []
  // 定义一个指针
  let p = root
  // 如果栈中有数据或者p不是null，则继续遍历
  while (stack.length || p) {
    // 如果p存在则一致将p入栈并移动指针
    while (p) {
      // 将 p 入栈，并以移动指针
      stack.push(p)
      p = p.left
    }

    const node = stack.pop()
    console.log(node.val)
    p = node.right
  }
}
inorder(bt)
/** 结果
D B E A H F I C G
*/

🥭 后序遍历

二叉树的后序遍历实现思想如下：

对当前节点的左子树进行后序遍历；
对当前节点的右子树进行后序遍历；
访问根节点;

如下图所示：

后序遍历.png

递归方式实现如下：

const bt = require('./tree')

// 递归版
function postorder(root) {
  if (!root) return
  postorder(root.left)
  postorder(root.right)
  console.log(root.val)
}
postorder(bt)
/** 结果
D E B H I F G C A
*/

迭代方式实现如下：

// 非递归版
function postorder(root) {
  if (!root) return
  const outputStack = []
  const stack = [root]
  while (stack.length) {
    const node = stack.pop()
    outputStack.push(node)
    // 这里先入left需要保证left后出，在stack中后出，就是在outputStack栈中先出
    node.left && stack.push(node.left)
    node.right && stack.push(node.right)
  }
  while (outputStack.length) {
    const node = outputStack.pop()
    console.log(node.val)
  }
}
postorder(bt)
/** 结果
D E B H I F G C A
*/

🍎 写在最后

本篇文章中介绍了二叉树的概念以及二叉树的遍历算法，在下一篇文章中将会介绍二叉搜索树。

本专栏采用JavaScript作为编程语言，从前端的角度去介绍数据结构与算法，如果对你所有帮助，可以点个关注支持一下啊~