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2-3树

2-3树定义

• 所有叶子节点都要在同一层
• 二节点要么有两个子节点，要么没有节点
• 三节点要么没有节点，要么有三个子节点
• 不能出现节点不满的情况

2-3树插入的操作

插入原理：

对于2-3树的插入来说，与平衡二叉树相同，插入操作一定是发生在叶子节点上，并且节点的插入和删除都有可能导致不平衡的情况发生，在插入和删除节点时也是需要动态维持平衡的，但维持平衡的策略和AVL树是不一样的。

AVL树向下添加节点之后通过旋转来恢复平衡，而2-3树是通过节点向上分裂来维持平衡的，也就是说2-3树插入元素的过程中层级是向上增加的，因此不会导致叶子节点不在同一层级的现象发生，也就不需要旋转了。

三种插入情况：

1）对于空树，插入一个2节点即可；

2）插入节点到一个2节点的叶子上。由于本身就只有一个元素，所以只需要将其升级为3节点即可（如：插入3）。

3）插入节点到一个3节点的叶子上。因为3节点本身最大容量，因此需要拆分，且将树中两元素或者插入元素的三者中选择其一向上移动一层。

分为三种情况：

• 升级父节点（插入5）
• 升级根节点（插入11）
• 增加树高度（插入2，从下往上拆）

2-3树删除的操作

删除原理：2-3树的删除也分为三种情况，与插入相反。

三种删除情况：

1）所删元素位于一个3节点的叶子节点上，直接删除，不会影响树结构（如：删除9） 2）所删元素位于一个2节点上，直接删除，破坏树结构

分为四种情况：

• 此节点双亲也是2节点，且拥有一个3节点的右孩子（如：删除1）

• 此节点的双亲是2节点，它右孩子也是2节点（如：删除4）

• 此节点的双亲是3节点（如：删除10）

• 当前树是一个满二叉树，降低树高（如：删除8）

3）所删元素位于非叶子的分支节点。此时按树中序遍历得到此元素的前驱或后续元素，补位

两种情况：

• 分支节点是2节点（如：删除4）
• 分支节点是3节点（如：删除12）